正六边形的面积公式

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曾有一道小学五年级数学竞赛题目，令大家陷入了深思的困境：正六边形局部面积已知，求解其整体面积。题目一出，教室里寂静一片，即便是平时的学霸和尖子生也束手无策，同学们纷纷感叹其难度之高。

如图所示，

图示中，点P位于正六边形ABCDEF的内部，与各边的连接形成了蓝色、和红色三角形，它们的面积分别为8、9、11。问题要求求解正六边形的整体面积。

这道题目难度较大，需要通过巧妙的辅助线来求解。下面将为大家展示两种不同的解题思路。

解析一：

连接AD和BE，交于点O，再连接OP，形成如图所示的图形。

①可以明显看出，O点是正六边形的中心，即AD与BE的中点。而且，AD平行于BC。正六边形的面积是六个三角形AOB的面积之和，而平行四边形BCDO的面积则是两个三角形AOB的面积之和。

②假设三角形AOP的面积为a，由于等底等高的三角形面积相等，所以三角形DOP的面积也为a。从图中可以看出，四边形BCDO的面积为两倍的三角形BOP加上已知的三角形CDP的面积。我们可以推导出三角形BOP的面积为a+1。

③由四边形ABPO的面积等于三角形ABP与三角形AOP的面积之和减去三角形AOB的面积，我们得到三角形AOB的面积为10。从而，正六边形的面积为6倍的三角形AOB的面积，即60。

解析二：

延长AB与DC，交于点G，形成如图所示的图形。

①可以看出，三角形BCG是一个等边三角形，且其面积是正六边形ABCDEF面积的六分之一。

②接下来，连接PG，我们可以通过分析得出三角形BCG的面积等于三角形BPG与三角形CPG的面积之和减去三角形BCP的面积。

③由于同底等高的三角形面积相等，我们可以得出三角形BPG的面积等于三角形ABP的面积，而三角形CPG的面积等于三角形BDP的面积。

④我们可以推导出三角形BCG的面积为10。正六边形的面积为6倍的这个值，即60。

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