边缘概率密度公式推导

一、思想萌芽：物质波与经典力学的交融

德布罗意的物质波启示

1924年，德布罗意提出了一个性的假设：粒子（如电子）具有波动性，其波长与动量之间的关系遵循=h/p的规则，而频率与能量之间的关系则为E=h或E=ℏ。

薛定谔在1925年阅读了德布罗意的论文后，意识到如果电子运动可以被视为驻波，那么其轨道稳定性需要满足驻波的条件，即轨道的周长应为波长的整数倍，这直接对应了玻尔的量子化条件。他尝试用波动语言重新解释这一关系。

哈密顿-雅可比方程的革新

德布罗意假设自由粒子的波函数可以表示为平面波。根据德布罗意关系p=ℏk和E=ℏ，我们可以将波矢k和角频率替换为物理量：k=p/ℏ和=E/ℏ。

薛定谔注意到，波函数的相位函数(px−Et)/ℏ与经典力学中的哈密顿主函数S(x,t)形式相似。在经典哈密顿-雅可比理论中，S(x,t)满足特定的方程。由此，薛定谔推测波函数的相位可能对应经典的作用量S，即S=波的相位。

二、从哈密顿-雅可比方程到波动方程的推导

经典哈密顿-雅可比方程描述了粒子的状态。假设我们将S视为波的相位，对波函数=e^(iS/ℏ)进行微分，可以得到经典物理量的解。通过将经典物理量替换为作用在波函数上的算符，我们得到了一种新的替换规则。

具体来说，将哈密顿-雅可比方程中的E和p替换为算符，作用在波函数(x,t)上，展开右侧动量算符的平方，最终得到薛定谔方程。这一推导展示了波动性与粒子性的融合。

三、非相对论波动方程的诞生：从经典波动到量子化

假设自由粒子的波函数为平面波(x,t)=e^(i(kx−t))，结合德布罗意关系和经典动能关系E=p/(2m)，我们可以得到描述非相对论性自由粒子波动行为的方程。

薛定谔最初尝试用实数方程描述波动，但发现无法得到稳定解。引入虚数i后，方程的时间演化保证了概率幅的守恒，解的形式与驻波条件相容。虚数i使时间演化成为幺正变换，保证了总概率的归一化，为概率诠释提供了数学基础。