微分方程特解 微分方程特解形式表


线性定常微分方程的求解涉及到多种方法,其中经典方法和拉式变换法是最常用的两种。经典方法在处理二阶及以下的系统时相对简便,但当面对更高阶的微分方程时,其复杂度显著增加。相比之下,拉式变换法对于高阶微分方程的求解更为高效和便捷。

例如,对于一个二阶系统,其中电感L=1H,电容C=1F,电阻R=1Ω,电容的初始电压Uo(0)=0.1V,初始电流i(0)=0.1A,电源电压Ui(t)=1V。我们需要计算电路在电源突然接通时电容电压Uo(t)。

此类RLC无源电路的二阶微分方程为:

微分方程特解 微分方程特解形式表

我们使用拉式变换法来求解。在进行拉式变换时,令Ui(s)=L[Ui(t)],Uo(s)=L[Uo(t)],根据拉式变换的微分性质:

微分方程特解 微分方程特解形式表

微分方程特解 微分方程特解形式表

电压Uo(t)的导数在t=0时的值为:

微分方程特解 微分方程特解形式表

从而可以得到二阶微分方程的拉式变换公式:

微分方程特解 微分方程特解形式表

通过对分母多项式进行极点求解,可以得到Uo(s)的具体形式。当电路突然接通电源时,Ui(t)可被视为阶跃输入信号,Ui(t)=1(t),因此Ui(s)=1/s。我们需要对Uo(s)进行拉式反变换:

其中第一项的拉式反变换表示由网络输入电压引起的输出分量,此部分与初始条件无关,被称为零状态响应;

第二项的拉式反变换代表由初始条件产生的输出分量,此部分与输入电压无关,被称为零输入响应;

当存在非零初始条件时,单位阶跃响应输出Uo(t)是零状态响应和零输入响应的叠加。

若输入电压为单位脉冲δ(t),Ui(s)=L[δ(t)]=1,网络的单位脉冲响应则由如下公式给出:

零输入响应保持不变,而零状态响应公式则变为:

最终的单位脉冲响应输出为:

利用拉式变换法解决线性定常微分方程的步骤包括:

1. 考虑初始条件,对微分方程中的每一项进行拉式变换,将其转换为变量s的代数方程;

2. 从代数方程中求出输出量的拉式变换函数表达式;

3. 对输出量的拉式变换函数进行反变换,得到时域表达式,即为微分方程的解。

线性微分方程解的运动模态由特解和齐次微分方程的通解构成。通解的形式由特征根决定,被称为瞬态分量,表示解随时间的变化过程,也称为自由运动。特征根的类型和重根数对运动模态产生不同影响。单重实数根对应的运动模态为指数衰减的瞬态分量;单重复数共轭根则表现为指数衰减的震荡瞬态分量;多重根的运动模态不仅按指数规律衰减,还与时间的乘积有关。

对于一般的微分方程,拉式变换反变换的求解步骤总结为:

令拉式代数方程的特征根为:

则求解拉式反变换为:

工程中,通常定义β=180-θ,则上述公式也可以表示为:

图示展示了阶跃响应的两种运动模态。曲线①表示震荡衰减的输出响应曲线,曲线②表示指数衰减的输出响应曲线。绿色坐标轴代表输出响应坐标,黑色坐标轴代表运动模态坐标;输出响应曲线为特解与通解的总和。