导函数为x的原函数

我们已习了基本函数和四则运算组合的求导方法。但面对一类特殊的函数——复合函数，比如 y = sin(2x) 或 y = (x²+1)³，该如何求导呢？今天，我们要引入强大的“链式法则”，并利用导数来分析函数的增减趋势。

知识点 1：复合函数与链式法则 (Composite Functions & Chain Rule)

通俗解释：复合函数就像“函数里的函数”。比如 y 是 u 的函数 y = f(u)，u 又是 x 的函数 u = g(x)，那么 y 最终是 x 的复合函数 y = f(g(x))。求导时，要使用链式法则。该法则告诉我们：复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

链式法则公式：若 y = f(u) 和 u = g(x) 都可导，则复合函数 y = f(g(x)) 的导数 dy/dx 为：dy/dx = dy/du du/dx。

计算例题 1：求 y = sin(2x) 的导数。

答：设 u = 2x，则 y = sin(u)。dy/du = cos(u)，du/dx = 2。根据链式法则，dy/dx = cos(u) 2 = 2cos(2x)。

计算例题 2：求 y = (x² + 1)³ 的导数。

答：设 u = x² + 1，则 y = u³。dy/du = 3u²，du/dx = 2x。dy/dx = 3u² 2x = 6x(x² + 1)²。

知识点 2：导数的应用 (1) - 判断函数的单调性 (Using Derivative to Determine Monotonicity)

导数的正负告诉我们函数是在上升（增加）还是下降（减少）。在一个区间内，如果导数大于0，函数就是递增的；如果导数小于0，函数就是递减的。

判定方法：设函数 y = f(x) 在某个区间 (a, b)内可导。若在 (a, b) 内 f'(x) > 0，则 f(x) 在此区间递增；若 f'(x)

知识点 3：函数单调性的应用实例

例如，求函数 f(x) = x³ - 3x 的单调区间。

答：首先确定定义域为所有实数R。求导得到 f'(x) = 3x² - 3。解不等式 f'(x) > 0 和 f'(x)

知识点 4：函数的极值 - 定义 (Local Extrema of a Function - Definition)

极值点就像函数图像上的“山峰”（极大值）或“山谷”（极小值）。这是在函数某一点附近（小邻域内）的最大或最小值，不一定是整个定义域上的最大或最小值。极大值和极小值统称为极值，对应的点称为极值点。

重要条件：极值点必须是函数定义域内部的点，不能在端点上；函数在极值点附近必须有定义。

知识点 5：函数极值的判别方法

通常极值出现在导数等于0的点（山顶或谷底处切线是水平的）或导数不存在的地方（如尖点）。但导数为0不一定就是极值点（如f(x)=x³在x=0处）。关键在于考察导数在极值点左右的符号变化。

判别方法：设函数 f(x) 在 x₀ 处连续，且 x₀ 附近可导（除 x₀ 外）。首先求导找到可能的极值点（驻点或导数不存在的点）。然后判断这些点左右两侧导数的符号变化，确定它们是极大值、极小值还是无极值。

练习题：

1. 求函数 y = cos(x²) 的导数。（使用链式法则）

2. 求函数 f(x) = e^(-x²) 的单调区间。（提示：e^u的导数是 e^u u'）

3. 函数 f(x) = x³ - 6x² + 5 的导数是 f'(x) = 3x² - 12x。找出 f(x) 的驻点并判断极值情况。

4. 结合上题，判断 f(x) 在驻点处是取得极大值还是极小值，或没有极值，并求出极值。

5. 函数在定义域端点处取得的最大值