连续复利公式推导全过程大揭秘，让你轻松掌握复利计算的核心秘诀！

好的，让我们揭开连续复利公式的神秘面纱，掌握其核心秘诀！

连续复利是什么？

想象一下，你的利息不是每年计算一次，而是每半年、每月、甚至每时每刻都在计算并重新投入产生更多利息。这种无限细分利息计算的方式，就是连续复利。

推导过程大揭秘

1. 起点：单期复利公式

我们从最基础的年复利公式开始：

FV = P (1 + r)^n

其中：

FV 是未来价值（Final Value）

P 是初始本金（Principal）

r 是年利率（年名义利率）

n 是投资的年数

2. 缩小时间间隔：追求更精确

为了让利息计算更频繁，我们假设一年计算 m 次。

每次计算的利率会相应缩小：r/m

投资的总期数会增加：n m

此时，复利公式变为：

FV = P (1 + r/m)^(nm)

3. 引入极限：迈向连续

连续复利的核心在于，我们将计算频率 m 无限放大，趋向于无穷大 (m → ∞)。当 m 趋于无穷大时，(1 + r/m)^(nm) 的形式看起来很像一个我们微积分中熟悉的极限表达式。

我们做一个变量替换，令 t = r n / m。当 m → ∞ 时，n 和 r 是常数，所以 t 也趋向于无穷大。同时，我们可以表示 m 为 m = r n / t，即 m → ∞ 等价于 t → 0 (相对于 r 和 n 而言)。

4. 应用指数极限公式

回到我们的公式 FV = P (1 + r/m)^(nm)，代入 t = r n / m：

FV = P [ (1 + r/(rn/t))^(rn/t) ]^(nt)

简化括号内部：

FV = P [ (1 + t/n)^(n/t) ]^(rnt)

现在，我们关注括号里的部分 (1 + t/n)^(n/t)。根据著名的微积分极限定理：

lim (x→0) (1 + x)^(1/x) = e

在这里，令 x = t/n，当 m → ∞ 时，t → 0，x 也趋向于 0。因此：

lim (m→∞) (1 + r/m)^(m(r/n)) = e

或者写成：

lim (m→∞) (1 + t/n)^(n/t) = e

5. 得出连续复利公式

将这个极限结果代回我们的公式中：

FV = P [ e ]^(rn)

FV = P e^(rn)

核心秘诀总结

连续复利公式的推导，本质上是将年利率 r 乘以投资年数 n，然后整个结果作为自然常数 e (约等于 2.71828) 的指数幂。这个公式代表了在理论上无限频繁计算利息时的最终价值。

最终公式：

FV = P e^(rn)

其中：

FV = 未来价值

P = 初始本金

r = 年名义利率 (小数形式，如 5% 写作 0.05)

n = 投资年数

e = 自然对数的底数 (约 2.71828)

掌握了这个推导过程，你就真正理解了连续复利的精髓，可以轻松计算在理论上最“利滚利”的效果了！