点乘叉乘大不同 向量运算要分清

点乘（内积）和叉乘（外积）是向量运算中的两种基本操作，它们在数学上有着不同的定义和应用。

点乘（内积）

点乘通常指的是两个向量的点积，也称为数量积或标量积。对于两个向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n) \)，它们的点积定义为：

\[

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + ... + a_n \cdot b_n

\]

这个结果是一个标量，表示的是两个向量的“长度”的乘积。如果两个向量的长度相同，那么点积就是这两个向量的模长之积；如果长度不同，那么点积就表示了这两个向量在各个维度上的“加权平均”。

叉乘（外积）

叉乘通常指的是两个向量的叉积，也称为向量积或矢量积。对于两个向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n) \)，它们的叉积定义为：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2, a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3, ..., a_n \cdot b_n - a_n \cdot b_1)

\]

这个结果是一个向量，它垂直于第一个向量，并且其方向由第二个向量确定。叉积的结果是一个向量，而不是一个标量。

点乘与叉乘的区别

- 点乘 只考虑了两个向量在各个维度上的“加权平均”，而不考虑它们之间的相对位置。

- 叉乘 不仅考虑了两个向量在各个维度上的“加权平均”，还考虑了它们之间的相对位置，因此得到的是一个垂直于第一个向量的向量。

应用举例

假设我们有两个向量 \( \mathbf{a} = (1, 0, 0) \) 和 \( \mathbf{b} = (0, 1, 0) \)，那么它们的点积为：

\[

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0

\]

而它们的叉积为：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 1, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 1, 0)

\]

可以看到，虽然两个向量的点积为零，但它们的叉积却是一个非零向量。这就是点乘和叉乘之间的一个重要区别。