探索向量投影的奥秘：a在b方向上的投影向量公式全解析

向量a在向量b方向上的投影向量公式是：$$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{b}$$其中，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$表示向量a和向量b的点积，$\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}$表示向量b自身的点积。这个公式的意义是，向量a在向量b方向上的投影向量，等于向量b乘以一个标量因子，这个标量因子是向量a和向量b的点积除以向量b自身的点积。这个投影向量的大小等于向量a在向量b方向上的分量的大小，方向与向量b相同。如果向量a和向量b的夹角是锐角，那么投影向量与向量b同向；如果夹角是钝角，那么投影向量与向量b反向；如果夹角是直角，那么投影向量为零向量。