二维向量叉乘运算公式大揭秘，让你轻松掌握向量运算小技巧！

二维向量的叉乘（也称为向量积或外积）是一种基本的向量运算，它描述了两个向量在垂直于它们构成的平面上的投影。对于两个二维向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2)$，它们的叉乘结果是一个标量 $c = \vec{a} \times \vec{b}$，其分量为：

$$

c_1 = a_2b_1 - a_1b_2

$$

$$

c_2 = a_1b_2 - a_2b_1

$$

这里，$c_1$ 和 $c_2$ 分别是向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 在 x 轴和 y 轴上的投影分量。

推导过程

假设我们有两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2)$，我们可以使用以下步骤来找到它们的叉乘：

1. 确定向量的单位方向：我们需要确保向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是单位向量，即它们的模长为1。如果它们不是单位向量，可以通过除以它们的模长来调整它们的大小。

2. 计算叉乘：然后，我们将这两个向量沿着它们的法线方向（垂直于它们构成的平面）进行叉乘。这可以通过将每个向量的分量与另一个向量的分量相乘，然后将结果相加来实现。

3. 简化结果：由于叉乘的结果是一个标量，我们可以直接将其作为最终答案。

示例

假设我们有向量 $\vec{a} = (3, 4)$ 和 $\vec{b} = (-1, 2)$，我们可以按照上述步骤来计算它们的叉乘：

1. 单位化向量：$\vec{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ 和 $\vec{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$。

2. 计算叉乘：

- $c_1 = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) - \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{3}{25} + \frac{8}{25} = \frac{5}{25}$

- $c_2 = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} - \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{6}{25} + \frac{4}{25} = \frac{10}{25}$

$\vec{a} \times \vec{b} = \frac{5}{25} + \frac{10}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$。

通过以上步骤，我们可以看到，二维向量的叉乘运算是一个直接且简单的操作，它允许我们快速地计算两个向量在垂直于它们构成的平面上的投影。这种运算在物理学、工程学和其他科学领域都有广泛的应用。