掌握复合函数同增异减规律，轻松应对函数单调性问题

掌握复合函数的单调性规律是解决函数单调性问题的关键。复合函数的单调性规律指的是，如果一个函数由两个或多个函数复合而成，那么这个复合函数的单调性取决于这些函数的单调性。

复合函数的单调性规律

1. 单调递增复合：如果复合函数中的第一个函数是单调递增的，第二个函数也是单调递增的，那么复合函数也是单调递增的。

- 例如，设 $f(x) = x^2$ 和 $g(x) = \sin x$，则复合函数 $h(x) = f(g(x)) = x^2(\sin x)$ 是单调递增的。

2. 单调递减复合：如果复合函数中的第一个函数是单调递减的，第二个函数也是单调递减的，那么复合函数也是单调递减的。

- 例如，设 $f(x) = x^3$ 和 $g(x) = \cos x$，则复合函数 $h(x) = f(g(x)) = x^3(\cos x)$ 是单调递减的。

3. 单调不变复合：如果复合函数中的第一个函数是单调不变的，第二个函数也是单调不变的，那么复合函数也是单调不变的。

- 例如，设 $f(x) = x$ 和 $g(x) = x$，则复合函数 $h(x) = f(g(x)) = x^2$ 是单调不变的。

4. 单调递增与递减复合：如果复合函数中的第一个函数是单调递增的，第二个函数是单调递减的，那么复合函数可能是单调递增也可能是单调递减。

- 例如，设 $f(x) = x^2$ 和 $g(x) = -x^2$，则复合函数 $h(x) = f(g(x)) = x^2(-x^2)$ 是单调递减的。

应用规律解决函数单调性问题

要解决函数单调性问题，可以遵循以下步骤：

1. 确定函数：首先明确需要分析的函数及其定义域。

2. 识别函数：观察函数的表达式，判断其是否满足单调性规律。

3. 应用规律：根据发现的规律，判断复合函数的单调性。

示例

假设我们有一个复合函数 $h(x) = (x^2 + 1)^3$，我们需要判断它的单调性。

- 第一个函数 $u(x) = x^2 + 1$ 是单调递增的。

- 第二个函数 $v(x) = x^3$ 是单调递增的。

复合函数 $h(x) = (x^2 + 1)^3$ 是单调递增的。

通过上述规律的应用，我们可以有效地解决函数单调性问题，从而更好地理解和分析函数的性质。