向量a在向量b上的投影长度公式全解析

向量a在向量b上的投影长度公式是：

$| \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} | = ||\overrightarrow{a}|| \cdot ||\overrightarrow{b}|| \cos \theta$，

其中 $||\overrightarrow{a}||$ 和 $||\overrightarrow{b}||$ 分别是向量a和b的模长（或大小），$\theta$ 是向量a和b之间的夹角。

解析推导

1. 向量的模长:

- 对于任意两个非零向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$，其模长定义为：

$$ ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $$

- 对于三维空间中的向量，模长为：

$$ ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $$

2. 向量的点积:

- 向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的点积定义为：

$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

- 对于三维空间中的向量，点积为：

$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

3. 向量的夹角:

- 向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 之间的夹角 $\theta$ 可以通过它们的点积来计算：

$$ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}|| ||\overrightarrow{b}||} $$

- 对于三维空间中的向量，夹角为：

$$ \cos \theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{||\overrightarrow{a}|| ||\overrightarrow{b}||} $$

4. 投影长度公式:

- 根据上述定义，向量 $\overrightarrow{a}$ 在向量 $\overrightarrow{b}$ 上的投影长度公式为：

$$ | \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} | = ||\overrightarrow{a}|| \cdot ||\overrightarrow{b}|| \cos \theta $$

- 对于三维空间中的向量，投影长度为：

$$ | \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} | = ||\overrightarrow{a}|| \cdot ||\overrightarrow{b}|| \cos \theta $$

向量 $\overrightarrow{a}$ 在向量 $\overrightarrow{b}$ 上的投影长度公式为：

$$ | \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} | = ||\overrightarrow{a}|| \cdot ||\overrightarrow{b}|| \cos \theta $$

其中 $\theta$ 是向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 之间的夹角。