计算a向量与b向量之和的长度有多简单

要计算两个向量之和的长度，我们首先需要知道这两个向量的分量。假设向量a和向量b的分量分别为$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，那么它们的和为$vec{c} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, ldots, a_n + b_n)$。

向量之和的长度可以通过以下公式计算：

$$|vec{c}| = sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2 + ldots + (a_n + b_n)^2}$$

这个公式是向量长度的平方和的算术平均数，也称为欧几里得范数（Euclidean norm）。

为了简化计算，我们可以使用向量的点积来表示这个公式。点积的定义是：

$$vec{a} cdot vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$$

向量之和的长度可以表示为：

$$|vec{c}|^2 = left(vec{a} cdot vec{b}right)^2$$

由于$vec{a} cdot vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$，我们可以将上述公式重写为：

$$|vec{c}|^2 = (a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2$$

展开并简化得到：

$$|vec{c}|^2 = a_1^2b_1^2 + 2a_1b_1(a_2b_2) + 2a_1b_1(a_3b_3) + ldots + 2a_1b_1(a_nb_n) + a_2^2b_2^2 + 2a_2b_2(a_3b_3) + ldots + 2a_2b_2(a_nb_n) + ldots + a_n^2b_n^2$$

这个表达式是一个关于$a_1, a_2, ldots, a_n, b_1, b_2, ldots, b_n$的多项式，其值等于向量$vec{c}$的模的平方。

计算两个向量之和的长度并不简单，而是涉及到多项式的乘法和求和。在实际应用中，通常使用数值方法（如牛顿法或高斯-赛德尔迭代法）来求解这样的多项式方程。