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数的分流与融合：从希腊数学到现代实数的演变

我们知道，毕达哥拉斯学派对可公度性的追求，实际上是在尝试在朴素的无穷观念和原子论之间架起桥梁，为测量计算和几何抽象提供联系。这条道路在希腊数学家面前遭遇了挑战。面对几何与代数的矛盾，希腊人选择了走一条与众不同的抽象之路。

这条路的起点，可以追溯到古埃及的莎草纸。莎草纸的出现，使得希腊数学家们可以在纸上进行几何作图和运算推演。这种纸草的特性使得数学家们可以大量记录他们的思维结果，促进了学术成果的交流。可以说，莎草纸是希腊人走向抽象化的关键物质条件。

在莎草纸的帮助下，希腊数学家果断放弃了笨重而不精确的计算和测量，全面转向了以几何为中心的抽象数学研究。他们意识到，几何的研究显然比计算和测量更加高级，因为计算板上的计算和测量不能完全表达莎草纸上演算出来的几何量。

几何量不可公度的问题仍然困扰着他们。为了解决这个问题，柏拉图首先从认识论上进行根本的补救。他认为我们无法认可测量出来的斜边长度是确凿无疑的，否则将不得不接受毕达哥拉斯学派遇到的荒谬结果。在几何学中，计算和测量是不可靠的。我们眼中看到的那条线段，只是客观世界对无理数的近似。那么进一步思考，整数本身与计数对象也应该是分离的。于是由计算和测量活动所得到的结果，都是人的幻觉。数学上的否定只能通过存粹的逻辑推演。

在此基础上，希腊数学家将现代实数分成三类：数、比例、不可公度量。他们认识到数只包含特定的部分整数，不包括无理数和分数。甚至在他们的观念中，“一”也不是一个数。这个传统在欧几里得的《原本》中得到了明确的体现。

为了修正毕达哥拉斯派的漏洞，希腊数学家开始为数、可共度量、不可共度量建立统一的比例关系。这是《几何原本》第五卷的主要工作。他们通过定义一和定义二将有限的几何量联系起来，无论可共度或不可共度，都可以谈论比值。这是因为欧几里得和毕达哥拉斯一样，无法处理无穷小量，只能采用这种定义排除无穷大与无穷小的量。