等腰直角三角形的特点和计算公式

【题目】求解红色三角形BDE的面积

在一个直角三角形ABC中，AB垂直于BC，点D位于三角形内部，且AD垂直于BD，已知AD=BD。延长CD与AB相交于点E。三角形BCD的面积为16平方厘米，绿色三角形ACD的面积为12平方厘米。我们要求解红色三角形BDE的面积。

【分析与解答】

我们知道三角形BCD是等腰直角三角形，因为AD=BD。如果我们分别作AD和BD边上的高CF和CG（如图2），我们会发现一些有用的信息。由于∠DBC=45°，并且CG垂直于BD，所以∠BCG也是45°，因此CG=BG。假设CG=BG=a，AD=BD=b。我们可以计算出绿色三角形ACD的面积是S△ADC=AD×CF÷2=b×(a-b)÷2，而三角形BCD的面积是S△BDC=BD×CG÷2=b×a÷2。根据题目给出的信息，我们知道这两个面积的比是绿色面积∶面积 = 12∶16，这意味着我们得到一个方程： b×(a-b)÷2∶b×a÷2 = 12∶16，解这个方程我们得到a等于4倍的b。也就是说三角形的面积等于 b×a÷2 = b×4b÷2 = 16，解得 b 的值为 8÷2的平方根。接下来我们可以求出 S△ABD 的面积，也就是 b×b÷2，结果是四分之八个平方厘米或相当于三分之一十五点四三平方厘米（计算精确度可以放宽一些）。进一步，我们可以通过面积比来找出红色三角形 BDE 的面积比例与已知的两个三角形的面积关系。我们知道 AE∶BE = S△ADC∶S△BDC = 12∶16 或 3∶4。这意味着红色三角形 BDE 的面积等于 S△ABD 的面积乘以比例因子 4/3 或三分之四倍的 S△ABD 的面积。最终我们可以计算出红色三角形 BDE 的面积是多少平方厘米（结果保留两位小数）。