微分齐次方程通解大揭秘，轻松掌握求解秘诀！

微分齐次方程是微分方程中的一种重要类型，其通解可以通过特定的方法轻松掌握。下面，我们将揭秘微分齐次方程的通解方法，让您轻松掌握求解秘诀！

微分齐次方程的定义

微分齐次方程是指形如 \( \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) \) 的方程，其中 \( f \) 是一个关于 \( \frac{y}{x} \) 的函数。

通解方法

1. 引入新变量：

令 \( v = \frac{y}{x} \)，即 \( y = vx \)。

2. 求导：

对 \( y = vx \) 两边求导，得到 \( \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \)。

3. 代入原方程：

将 \( \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \) 代入原方程 \( \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) \)，得到 \( v + x\frac{dv}{dx} = f(v) \)。

4. 分离变量：

将方程变形为 \( x\frac{dv}{dx} = f(v) - v \)，即 \( \frac{dv}{f(v) - v} = \frac{dx}{x} \)。

5. 积分：

对两边积分，得到 \( \int \frac{dv}{f(v) - v} = \int \frac{dx}{x} \)。

6. 求解积分：

求解上述积分，得到 \( \int \frac{dv}{f(v) - v} = \ln|x| + C \)，其中 \( C \) 是积分常数。

7. 回代变量：

将 \( v = \frac{y}{x} \) 代回，得到通解为 \( \int \frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{f\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x}} = \ln|x| + C \)。

示例

考虑微分方程 \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1 \)。

1. 令 \( v = \frac{y}{x} \)，即 \( y = vx \)。

2. 求导：\( \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \)。

3. 代入原方程：\( v + x\frac{dv}{dx} = v + 1 \)，即 \( x\frac{dv}{dx} = 1 \)。

4. 分离变量：\( \frac{dv}{1} = \frac{dx}{x} \)。

5. 积分：\( v = \ln|x| + C \)。

6. 回代变量：\( \frac{y}{x} = \ln|x| + C \)，即 \( y = x\ln|x| + Cx \)。

因此，微分方程 \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1 \) 的通解为 \( y = x\ln|x| + Cx \)。

通过以上步骤，您可以轻松掌握求解微分齐次方程的秘诀！