教你用构造法轻松搞定数列通项例题

在解决数列通项问题时，构造法是一种非常有效的方法。构造法通过构造一个与原数列相关的辅助数列或表达式，从而简化问题，找到原数列的通项公式。下面通过一个例题来说明构造法的应用。

例题：已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/S_{n-1}（n≥2），求{a_n}的通项公式。

首先，根据题意，我们有：

a_n = S_n / S_{n-1}（n≥2）

由于a_n = S_n - S_{n-1}，我们可以将上述等式改写为：

S_n / S_{n-1} = (S_n - S_{n-1}) / S_{n-1}

化简后得到：

S_n^2 = S_n S_{n-1} + S_{n-1}^2

接下来，我们构造一个新的数列{b_n}，其中b_n = S_n^2。则有：

b_n = b_{n-1} + b_{n-2}

这是一个斐波那契数列的变形。我们知道斐波那契数列的通项公式为：

b_n = (φ^n - ψ^n) / √5

其中，φ = (1 + √5) / 2 是黄金比例，ψ = (1 - √5) / 2 是其共轭。

由于b_n = S_n^2，我们可以得到：

S_n^2 = (φ^n - ψ^n) / √5

最后，我们取平方根得到S_n的表达式，再利用a_n = S_n - S_{n-1}求出a_n的通项公式。这样，我们就成功地通过构造法解决了这个数列通项问题。