3200加1600根号3怎么算开方

要计算 \( \sqrt{3200 + 1600\sqrt{3}} \)，我们可以将其表示为 \( \sqrt{a + b\sqrt{c}} \) 的形式，其中 \( a = 3200 \)，\( b = 1600 \)，\( c = 3 \)。

假设 \( \sqrt{3200 + 1600\sqrt{3}} = \sqrt{A} + \sqrt{B} \)，其中 \( A \) 和 \( B \) 是正实数。那么我们有：

\[ (\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = A + B + 2\sqrt{AB} \]

将其与 \( 3200 + 1600\sqrt{3} \) 相等：

\[ A + B + 2\sqrt{AB} = 3200 + 1600\sqrt{3} \]

比较有理数和无理数部分：

1. \( A + B = 3200 \)

2. \( 2\sqrt{AB} = 1600\sqrt{3} \)

从第二个等式：

\[ \sqrt{AB} = 800\sqrt{3} \]

\[ AB = 800^2 \times 3 = 640000 \]

现在我们有两个方程：

1. \( A + B = 3200 \)

2. \( AB = 640000 \)

我们可以将 \( A \) 和 \( B \) 看作二次方程 \( x^2 - (A+B)x + AB = 0 \) 的根：

\[ x^2 - 3200x + 640000 = 0 \]

解这个二次方程：

\[ x = \frac{3200 \pm \sqrt{3200^2 - 4 \times 640000}}{2} \]

\[ x = \frac{3200 \pm \sqrt{10240000 - 2560000}}{2} \]

\[ x = \frac{3200 \pm \sqrt{7680000}}{2} \]

\[ x = \frac{3200 \pm 2800}{2} \]

得到两个解：

\[ x = \frac{3200 + 2800}{2} = 3000 \]

\[ x = \frac{3200 - 2800}{2} = 200 \]

所以 \( A = 3000 \)，\( B = 200 \) 或 \( A = 200 \)，\( B = 3000 \)。

因此：

\[ \sqrt{3200 + 1600\sqrt{3}} = \sqrt{3000} + \sqrt{200} \]

\[ = 10\sqrt{3} + 10\sqrt{2} \]

所以：

\[ \sqrt{3200 + 1600\sqrt{3}} = 10(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \]