华罗庚谈数与形的关系

数学与形态的紧密关联，二者如影随形，难以分割。缺失了哪一方，都似乎缺少了完美的要素，仿佛是伴侣之间，相互依存，不可或缺。

近日，我再次深入研读了2018年《小学数学教育》第四期刊登的上海曹培英老师的一篇文章。这篇文章的主题是关于“数学广角”的教学系列研究，着实令我深思。

在不同的场合上，我有幸听过这位资深教育家的演讲。曹老师的治学风格严谨而务实，尤其在我的数学教学中，我十分重视数形结合思想的应用。我认为，利用直观的“形”来表现抽象的“数”，可以帮助学生更好地理解数学信息，从而有效解决问题。

关于“数形结合”思想的记载，最早是由华罗庚先生提及的。最初的人类数形结合更偏向于“以形助数”，直到笛卡尔创建了直角坐标系后，几何开始更多地转变为“以数助形”。

近段时间里，我在辅导五六年级的学生进行“行程问题板块”的练习。每当遇到题目时，我都会与学生们一起逐字逐句地分析条件和问题，然后画出相应的图形。有时候甚至是在第一次读题时便开始画图。复杂的行程问题一旦能够用线段图等形式表现出来，便立刻变得清晰易懂。接着分析数量间的关系就变得相对简单了。

画图对于孩子们来说是一个巨大的挑战。我发现很多老师虽然会借助图形来分析问题，但很少花费时间去教导孩子们如何画图。在课堂时间有限的情况下，老师可能舍不得将大量时间留给学生去探索画图的步骤和技巧。然而在我看来，如果是我教的学生，从第一天开始我就会教导他们在读题时学习画图的方法。

我认为这样的教学方式才是真正地“教人以渔”。虽然开始时可能会进展缓慢，就像日本教育家佐藤学所倡导的“学习共同体”一样，需要学生学会相互倾听和对话。倾听是对话的前提。但在实际教学中，我发现许多孩子甚至老师都没有学会倾听就开始对话了。我常常会提醒孩子们在别人讲话时认真倾听，并尝试理解对方的想法。

回到数形结合的话题上，教孩子们学会画图并养成习惯是一个需要时间和耐心的过程。有时孩子们可能会遇到无法动笔的情况。这时我的做法是边示范边讲解，例如：“先画第一句话，用一条线段表示这条路，用箭头表示方向。再画第二句话，标出车的速度……问号应该标在哪里呢？”我会带着学生们一起边画边讲解。除了线段图外还可以使用圆圈图等其他图形表示方式。一旦学生能够尝试自己画图分析条件了那么他们思维的起点就找到了可以更有效地处理大量的信息。

曹培英老师在文章中主要探讨了“数学广角”的内容这一章节编排了许多图形通过观察图形的“变”与“不变”来寻找其中的数量关系并用含有字母的式子表示出来。这正是数形结合思想在数学教学中的体现。

我曾用画图法教三年级的孩子学习鸡兔同笼的问题竟然收到了意想不到的效果孩子们一学就会而且无论数据大小都能通过画图很好地解释清楚这让我深刻体会到了画图法的巨大作用。

在解决许多数学问题时画图是一种非常有效的策略。有了具体的图形支撑抽象的数字或文字思维就有了支点。这就像给我一个支点我就能撬动地球一样虽然不能真正撬动地球但确实可以撬动思维。

最后用华罗庚先生的一句话来总结这次思考：“数无形时少直观形缺数时难入微。”这句话恰恰地诠释了数形结合的重要性两者相互补充才能更好地理解和解决问题。对于“数形结合”的理解我想再也没有比这句话更贴切的了。