两向量平行相乘的结果到底是0还是1？探索向量乘法中的奥秘

在向量的乘法中，当我们谈论两个向量的“平行相乘”时，我们实际上是在讨论这两个向量的叉积（cross product）。叉积是一个向量，它垂直于由第一个向量和第二个向量构成的平面。

让我们通过一个具体的例子来探索这个问题。假设有两个向量 $\vec{a} = (1, 0)$ 和 $\vec{b} = (0, 1)$。这两个向量可以表示为：

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

这两个向量的叉积 $\vec{a} \times \vec{b}$ 可以通过以下步骤计算：

1. 计算向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的点积（内积）：

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 $$

2. 然后，计算向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模长（长度）：

$$ \|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 $$

$$ \|\vec{b}\| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1 $$

3. 计算叉积：

$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

其中 $i, j, k, l$ 是单位向量，且满足 $i^2 + j^2 + k^2 + l^2 = 1$。

展开叉积：

$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} (1 - 0) $$

$$ = \begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} $$

$\vec{a} \times \vec{b}$ 的结果是一个与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都垂直的向量，其方向由右手定则确定。这个结果不是0也不是1，而是一个标量值，表示了两个向量之间的夹角。