一元二次函数顶点坐标公式，轻松掌握抛物线关键点

一元二次函数的顶点坐标公式是解决与抛物线相关问题的关键。我们需要了解一元二次函数的标准形式：

\[ y = ax^2 + bx + c \]

其中，a、b和c是常数，且a≠0。

顶点坐标公式

顶点坐标公式可以帮助我们确定抛物线的顶点位置。顶点坐标可以通过以下步骤计算得出：

1. 确定系数：

- 将抛物线方程写为标准形式：\(y = ax^2 + bx + c\)。

- 从方程中解出y：\(y = ax^2 + bx + c - a\)。

- 简化得到：\(y = a(x^2 + 1/x) - a\)。

2. 展开并整理：

- 对\(x^2 + 1/x\)进行展开：\(x^2 + 1/x = x^2 + 1/x - 1 + 1 = (x^2 + 1/x) - 1\)。

- 代入原式：\(y = a(x^2 + 1/x) - a - a\)。

- 简化得到：\(y = a(x^2 + 1/x) - 2a\)。

3. 提取公因子：

- 提取y项中的公因子：\(y = a(x^2 + 1/x) - 2a\)。

- 可以进一步简化为：\(y = a(x^2 + 1/x) - 2a\)。

- 由于\(a\)是常数，我们可以将其提出：\(y = (x^2 + 1/x) - 2a\)。

4. 求导数：

- 对\(y = (x^2 + 1/x) - 2a\)求导：\(\frac{dy}{dx} = 2x - \frac{1}{x^2}\)。

- 令导数等于0求得临界点：\(2x - \frac{1}{x^2} = 0\)。

- 解这个方程可以得到两个临界点：\(x = 1\)和\(x = -1\)。

5. 验证：

- 分别代入\(x = 1\)和\(x = -1\)检验是否满足原方程。

- 当\(x = 1\)时，代入原方程得到\(y = a(1^2 + 1/1) - 2a = a - 2a = -2a\)，不等于原方程的\(y = ax^2 + bx + c\)。

- 当\(x = -1\)时，代入原方程得到\(y = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c\)，不等于原方程的\(y = ax^2 + bx + c\)。

- 这两个点不是顶点。

6. 求解顶点：

- 通过上述分析，我们知道只有一个临界点，即\(x = 1\)。

- 将\(x = 1\)代入原方程得到\(y = a(1^2 + 1/1) - 2a = a - 2a = -2a\)。

- 解出a的值，得到\(a = -1\)。

- 代入原方程得到\(y = -1(x^2 + 1/x) - 2(-1)\)。

- 化简得到\(y = -1(x^2 + 1/x) + 2\)。

- 进一步化简得到\(y = -1(x^2 + 1/x) + 2\)。

- 最终得到顶点坐标为\((0, 2)\)。

通过上述推导，我们得到了一元二次函数的顶点坐标公式：

\[ y = a(x^2 + 1/x) - 2a \]

顶点坐标为：

\[ (0, 2) \]

这个公式不仅帮助我们解决了抛物线的关键点问题，还提供了一种通用的方法来求解任何形式的一元二次函数的顶点坐标。