探索二阶常系数非齐次线性微分方程y&039;&039;-2y&039;-3y=e的通解奥秘

二阶常系数非齐次线性微分方程 \( y'' - 2y' - 3y = e^x \) 的通解由两部分组成：齐次方程的通解和非齐次方程的特解。

首先，求解对应的齐次方程 \( y'' - 2y' - 3y = 0 \)。其特征方程为 \( r^2 - 2r - 3 = 0 \)，解得 \( r_1 = 3 \) 和 \( r_2 = -1 \)。因此，齐次方程的通解为：

\[ y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} \]

其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是任意常数。

接下来，求非齐次方程的特解。由于非齐次项为 \( e^x \)，我们假设特解形式为 \( y_p = A e^x \)。将 \( y_p \) 代入原方程：

\[ y_p'' - 2y_p' - 3y_p = e^x \]

计算得：

\[ A e^x - 2A e^x - 3A e^x = e^x \]

\[ (A - 2A - 3A) e^x = e^x \]

\[ -4A e^x = e^x \]

解得 \( A = -\frac{1}{4} \)。因此，特解为：

\[ y_p = -\frac{1}{4} e^x \]

最终，原方程的通解为齐次方程通解与特解之和：

\[ y = y_h + y_p = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} - \frac{1}{4} e^x \]

这个通解包含了方程的所有可能解，体现了齐次解和非齐次解的叠加原理。通过特征方程和待定系数法，我们揭示了非齐次项对解的影响，从而完整地描述了方程的通解。