计算圆心到切线距离的公式大揭秘，轻松搞定数学难题

圆心到切线的距离公式是几何学中一个非常重要的概念，它不仅在解决几何问题时非常有用，而且在理解圆的性质和性质方面也扮演着关键角色。下面我将详细解释这个公式，并给出一些应用示例。

圆心到切线的距离公式

假设有一个圆的方程为 ( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 )，其中 ( h ) 和 ( k ) 是圆心的坐标，( r ) 是圆的半径。

1. 定义：

- 圆心到切线的距离记作 ( d )。

- 切线方程可以表示为 ( y - k = frac{r}{h} (x - h) )。

2. 推导过程：

- 将切线方程代入圆的方程中，得到关于 ( x ) 和 ( y ) 的二次方程：

[

r^2 (x - h)^2 + r^2 (y - k)^2 = r^2 h^2

]

- 展开并整理得：

[

x^2 - 2hx + y^2 - 2ky + h^2 = 0

]

- 由于这是一个以 ( (h, k) ) 为中心的圆，所以 ( x = h ) 和 ( y = k ) 是这个方程的两个根。

- 从这两个根中减去 ( h )，我们得到：

[

d = |k - h|

]

- 这就是圆心到切线的距离公式。

应用示例

假设我们要计算一个半径为 5 厘米的圆的圆心到切线的距离。圆心坐标为 ( (3, 4) )，半径 ( r = 5 ) 厘米。

1. 确定切线方程：

- 切线方程为 ( y - 4 = frac{5}{3} (x - 3) )。

2. 代入圆的方程：

- 将切线方程代入圆的方程：

[

5^2 (x - 3)^2 + 5^2 (y - 4)^2 = 5^2 cdot 9

]

- 展开并简化：

[

25 (x - 3)^2 + 25 (y - 4)^2 = 81

]

- 整理得：

[

x^2 - 6x + y^2 - 8y + 16 = 0

]

- 由于这是一个以 ( (3, 4) ) 为中心的圆，所以 ( x = 3 ) 和 ( y = 4 ) 是这个方程的两个根。

- 从这两个根中减去 ( 3 )，我们得到：

[

d = |4 - 3| = 1

]

圆心到切线的距离是 1 厘米。