√6是有理数还是无理数

探索“数学英才”的无穷之旅：潜无穷、序数无穷与超越数之谜

当人们试图列举所有的整数时，总会遇到一个无法逾越的界限，因为整数列是无穷的。这种无穷被称为潜无穷。这种无穷大的概念在19世纪被康托尔通过集合理论正式定义，他定义了什么是基数无穷。与此人们也在寻找一个比所有整数都大的数，这个数如果存在的话，那么它应该是一个无穷大的数，这种无穷我们称之为序数无穷。漫长历史的长河中，数学家们被这两种无穷大引领向了更深层次的数学探索。

无理数的发现引发了数学历史上的第一次危机。这些不能表示为两个整数之比的数，在实际应用中与整数、有理数一样必不可少。无理数的定义和表达却与无穷的概念紧密相连，因为没有一个无理数能用有限的小数来表示。当我们尝试书写一个无理数时，我们实际上是在罗列一个无穷的小数序列。这个序列的每一个位置都是未知的，我们必须将两个无理数的小数一位一位地比较，这是一个永无止境的工作。这种无穷大的特点在小数的表达中却说明了一个事实：这些数字的确是一个无穷过程的结果。尽管无理数的定义涉及无穷，但今天我们对这些数字进行运算已经得心应手。这些数字可以被看作是一列无穷的有理数的极限，或者如果我们愿意的话，也可以看作是一个拥有无穷小数的数。无理数的无穷性被彻底掩盖，对我们而言，这些数字完全是有限的。

除了无理数，还有一种更复杂的数字——超越数，它们不能满足任何一个整系数代数方程。像和自然对数的底数e就是这样的数字。莱布尼茨将微积分应用到物理问题的解答中，找到了超越曲线的解，也就是非代数方程的解。这些曲线和超越数一样，是无穷的。从对超越曲线和无穷的研究来看，这些曲线作为某些物理计算的解，恰恰印证了“无穷在自然界中无处不在”。莱布尼茨说：“超越量的来源就是无穷。”的确，数学中到处都有无穷的影子。否认无穷就必须否认和其他无理数存在的现实。