x²–2x–3=0解方程

在中学数学中，韦达定理揭示了一元二次方程根与系数之间的神秘关系。对于形如 ax+bx+c=0（其中a不等于0）的方程，其两根为x1和x2，满足关系式 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。韦达定理的逆定理同样令人着迷。如果两个数m和n满足m+n=p且mn=q，那么这两个数实际上是方程x-px+q=0的根。这一逆定理的精髓在于通过“和”与“积”反向构造方程，将数的关系转化为方程问题。在实际解题过程中，这种方法往往能化繁为简，巧妙解决复杂问题。

让我们来了解一下韦达定理的先驱——弗朗索瓦韦达。

我们来看看如何通过韦达逆定理解决一些中学常见的数学问题。

一、几何条件代数化：隐藏的方程模型

例题1：一个矩形的周长为20cm，面积为24cm，求这个矩形的对角线长度？

我们可以通过设矩形的长和宽为x和y，然后列出方程组x+y=10和xy=24来解决这个问题。根据韦达逆定理，我们知道x和y是方程t-10t+24=0的解。解这个方程得到t=4或6。然后我们可以计算出对角线的长度为根号下4+6的和，即2√13。

例题2：一个直角三角形的周长为12，面积为6，求这个三角形的两个直角边的长度。

假设两个直角边的长度为a和b，我们可以列出方程a+b+a+b=12和ab=6。通过韦达逆定理，我们可以设S=a+b，并利用勾股定理消元得到S=7，即a+b=7。然后我们可以解出a和b是方程x-7x+6=0的解，这个方程的解就是两个直角边的长度。