λE-A特征多项式展开全攻略，让你轻松搞定线性代数难题！

好的，线性代数中的特征多项式求解是理解矩阵对角化、线性变换性质等关键概念的基础。掌握其λE-A展开法，是攻克线性代数难题的重要一步！下面为你奉上这份“全攻略”，助你轻松搞定！

核心概念：特征值与特征向量

在讨论特征多项式之前，先明确几个基本概念：

1. 方阵 (n x n Matrix): 具有相同行数和列数的矩阵。

2. 特征值 (Eigenvalue, λ): 对于一个 n x n 方阵 A，如果存在一个非零向量 v，使得 Av = λv，那么标量 λ 就称为矩阵 A 的一个特征值，向量 v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。

3. 特征向量 (Eigenvector, v): 如上所述，与特征值 λ 相关联的非零向量 v，满足 Av = λv。

特征多项式的定义

特征多项式是用来寻找矩阵 A 的特征值的工具。其定义如下：

det(λE - A)

其中：

λ (Lambda): 是一个未知的标量，代表特征值。

E (或 I): 是与 A 同阶的单位矩阵（主对角线元素为 1，其余元素为 0）。

A: 是给定的 n x n 方阵。

det(...): 表示矩阵的行列式 (Determinant)。

这个表达式 det(λE - A) 是一个关于 λ 的n次多项式，称为矩阵 A 的特征多项式。

为什么是 λE - A？

理解这一点很关键：

要找的是形如 Av = λv 的向量 v，可以变形为 Av - λv = 0，即 (A - λI)v = 0。

为了使这个等式有非零解 v（因为特征向量 v 不能是零向量），矩阵 (A - λI) 必须是奇异矩阵，即它的行列式必须为 0。

因此，我们需要解方程：det(A - λI) = 0。

通常写作 det(λE - A) = 0（因为 det(λE - A) 和 det(A - λI) 的值相同，只是在 λ 的系数上可能差一个负号，但这不影响根的求解）。这个方程就是特征方程 (Characteristic Equation)。

展开特征多项式 (λE - A) 的步骤详解

计算 det(λE - A) 的值，具体步骤如下：

步骤一：构造矩阵 (λE - A)

1. 取 n x n 单位矩阵 E。

2. 将单位矩阵 E 的主对角线上的每一个元素都替换为 λ。

3. 保持矩阵 A 不变。

4. 计算 λE 和 A 的差：λE - A。这是一个 n x n 的矩阵，其对角线上元素为 λ - aᵢⱼ，其中 aᵢⱼ 是矩阵 A 的元素。

步骤二：计算行列式 det(λE - A)

1. 使用行列式的基本性质：

性质1 (数乘行/列): 如果矩阵的某一行（或列）乘以一个常数加到另一行（或列）上，行列式的值不变。利用这个性质，尽可能将行列式化简为上三角形矩阵或下三角形矩阵。

性质2 (行/列互换): 交换矩阵的两行（或两列），行列式的值变号。

性质3 (行/列成比例): 如果矩阵的两行（或两列）成比例，行列式的值为 0。

性质4 (对角/三角矩阵): 对角矩阵或上（下）三角矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积。

2. 展开计算：

对于 2x2 矩阵 A:

```

A = [ a b ]

[ c d ]

```

```

λE - A = [ λ-a -b ]

[ -c λ-d ]

```

`det(λE - A) = (λ-a)(λ-d) - (-b)(-c) = λ² - (a+d)λ + (ad - bc)`

这个结果就是 2x2 矩阵的特征多项式：λ² - tr(A)λ + det(A) （其中 tr(A) 是 A 的迹，即主对角线元素之和）。

对于 3x3 矩阵 A:

```

A = [ a b c ]

[ d e f ]

[ g h i ]

```

```

λE - A = [ λ-a -b -c ]

[ -d λ-e -f ]

[ -g -h λ-i ]

```

使用按行（或列）展开法（Cofactor Expansion），例如按第一行展开：

`det(λE - A) = (λ-a) det([[λ-e, -f], [-h, λ-i]])`

`- (-b) det([[-d, -f], [-g, λ-i]])`

`+ (-c) det([[-d, λ-e], [-g, -h]])`

计算这三个 2x2 行列式，并将结果相加减，最终会得到一个关于 λ 的三次多项式：λ³ - tr(A)λ² + (tr(A)² - tr(A₂))λ - det(A) （其中 tr(A) 是迹，tr(A₂) 是所有 2x2 主子式之和，det(A) 是行列式）。

对于 nxn 矩阵 A (一般情况):

使用按行（或列）展开法计算 det(λE - A)。随着 n 的增大，计算量会呈指数级增长，过程可能非常繁琐。这时，化简行列式（利用行列式性质化为上/下三角）或使用计算机代数系统（如 MATLAB, Mathematica, Python 的 NumPy/SciPy 库）会更为高效。

步骤三：求解特征方程

1. 将计算得到的特征多项式 f(λ) = det(λE - A) 写成标准形式：f(λ) = λⁿ + cₙ₋₁λⁿ⁻¹ + ... + c₁λ + c₀ = 0。

2. 解这个关于 λ 的n 次代数方程。这个方程可能有 n 个根（包括实根和复根，重根按重数计算）。

3. 这些根就是矩阵 A 的特征值。

攻略总结与技巧

1. 核心公式牢记： 特征多项式的核心是 det(λE - A)。

2. 化简先行： 在计算行列式时，优先使用行列式性质将矩阵化简为三角形形式，可以大大简化计算。

3. 按行/列展开： 对于低阶矩阵（如 2x2, 3x3），按行或列展开是直接有效的方法。

4. 高阶矩阵： 对于高阶矩阵，化简为三角形是更优策略。手动计算困难时，善用计算工具。

5. 迹与行列式： 对于 2x2 和 3x3 矩阵，特征多项式有简洁的迹和行列式相关形式，可以作为检查的辅助。

6. 特征值与特征向量： 找到特征值 λ 后，还需要解方程组 (λE - A)v = 0 来找到对应的特征向量 v（这通常比找特征值更繁琐）。

7. 理解意义： 深刻理解特征值和特征向量在线性代数中的几何和代数意义，有助于理解计算过程和结果。

实战演练

假设 A 是一个 2x2 矩阵：

```

A = [ 1 2 ]

[ 3 4 ]

```

求 A 的特征多项式和特征值。

解：

1. 构造 λE - A：

```

λE = [ λ 0 ]

[ 0 λ ]

λE - A = [ λ-1 -2 ]

[ -3 λ-4 ]

```

2. 计算行列式 det(λE - A)：

`det(λE - A) = (λ-1)(λ-4) - (-2)(-3)`

`= λ² - 5λ + 4 - 6`

`= λ² - 5λ - 2`

（或者使用公式 λ² - tr(A)λ + det(A) = λ² - (1+4)λ + (14 - 23) = λ² - 5λ - 2）

3. 求解特征方程：

`λ² - 5λ - 2 = 0`

使用求根公式：

`λ = [5 ± sqrt(25 + 8)] / 2`

`λ = [5 ± sqrt(33)] / 2`

所以，矩阵 A 的特征值是 [5 + sqrt(33)] / 2 和 [5 - sqrt(33)] / 2。

通过这份全攻略，你应该对如何根据 λE-A 特征多项式展开来求解线性代数难题有了清晰的认识和系统的步骤。多加练习，你会发现这个方法虽然有时繁琐，但逻辑清晰，是理解和解决线性代数问题的关键武器！祝你学习顺利，轻松攻克难题！