换底公式的8个公式（高中数学2（基本初等函数））

关于集合与函数的基础知识点，昨天我们已经进行了学习。今天，我们将深入探讨第二个重要板块——基本初等函数。通过对历年高考题的分析，我们发现这部分内容在高的分值占比约为25-40分，占数学总分的17%-27%，无疑是高考数学的核心组成部分之一。更有一种说法是：“函数学不好，导数两行泪”，打牢基础尤为重要。

一、幂函数

幂函数是指形如y = x^（为常数）的函数。

1. 基础定义

幂函数的定义是x的头上顶个固定指数。比如y=x是抛物线，y=√x是x的1/2次方，即方。指数不同，函数图像的形状也会完全不同。

当>0时，图像从原点出发，类似于坡，比如y=x。

当

2. 高频考点

需要关注幂函数的定义域：

对于整数指数，x可以取全体实数。

对于分数指数，如为1/2，则x必须大于等于0，因为负数不能开偶次根。

还有函数的奇偶性：

奇函数：当为奇数时，图像关于原点对称，如y=x。

偶函数：当为偶数时，图像关于y轴对称，如y=x。

3. 举例说明

例如，求y=x^(-2)（即y=1/x）的定义域。答案是x不等于0，因为分母不能为0。

再如，比较y=x和y=x的图像区别。解析是y=x是U型抛物线（偶函数），y=x是S型曲线（奇函数）。

4. 高考真题解析

以2021新高考Ⅰ卷为例，已知幂函数f(x)=x^的图像过点(2,√2)，求的值。通过代入点(2,√2)可求得=1/2。

5. 易错点提示

需要注意负指数陷阱，比如y=x^(-1)=1/x，定义域是x不等于0，不是全体实数。分数指数容易遗漏条件，如y=x^(1/3)是奇函数，但y=x^(1/2)的定义域只能是x大于等于0。

二、指数函数

指数函数是指形如y = a^x（a>0且a≠1）的函数。

1. 基础定义

指数函数的核心特点是底数a固定，指数是变量x。比如y=2^x模拟了病毒传播模型。图像特征取决于底数a的大小。

当a>1时，图像从左下到右上“爬坡”。

当0

所有指数函数的图像都会经过点(0,1)，无论a是多少。

2. 高频考点

指数函数的定义域是全体实数。关注函数的单调性：当a>1时，y随x增大而快速增长；当0

3. 举例说明

比如比较3^2和2^3的大小，结果是3^2>2^3。再解方程2^x=8，答案是x=3。

4. 高考真题解析（以题为例）

若a=2^(1/3)，b=3^(1/2)，c=5^(1/6)，如何比较a、b、c的大小？统一指数为1/6次方后比较底数大小即可得出答案。

需要注意的是底数a必须大于0且不等于1。忽略单调性可能会导致错误，比如a>1时，x越大y越大。因此判断大小关系时要特别注意函数的单调性。此外还需注意对数换底公式的应用以避免计算错误的发生。忽略对数函数的单调性容易犯错因此需要特别重视指数函数及其对数性质的学习和运用才能够理解复杂问题的解答方法从而提升成绩进行下一步数学科目的深度学习在夯实基础的前提下拓展视野逐步提升自己的数学水平和学习效果实现理想的数学成绩。通过系统的学习和训练我们掌握了扎实的数学基础在高中数学学习中取得理想的成绩便不再是难题！