正三棱锥的所有结论（等体积法探究）
方法导读
等体积法是通过利用几何体的体积相等来进行转换，以求解几何体的体积和点到平面的距离等问题。在近年的高，立体几何考题经常涉及求点到面的距离和几何体体积的计算。当同学们在解答时遇到空间想象能力不足的难题，难以直接找到几何体的高线（点到平面的距离）时，等体积法可以为我们提供新的思路。下面我们以2019年全国I卷文科第19题为例，感受等体积法的应用。
高考真题
【2019全国I卷文19】如图，直四棱柱的底面是菱形。
(1)求证：平面；
(2)求点C到平面ABC的距离。
解题策略
本题考查立体几何的知识点，包括线面平行的判定和点到平面的距离的求解。在解题过程中，需要熟记线面平行的判定定理，学会寻找平行线。对于点到平面的距离的求解，等体积法是一种常用的方法，特别是在处理文科生常考的题目时。
解题过程 & 解题分析
(1)利用三角形中位线和定理，可以证得四边形为平行四边形，进而证明。根据线面平行判定定理，可以得出结论。
(2)根据题意，先求得三棱锥的体积，再求出ABC的面积。然后利用等体积法，求得点C到平面ABC的距离。
拓展推广
1. 等体积法求几何体的体积
同一几何体的等体积转换：等体积法主要应用在三棱锥中。例如，求三棱锥的体积时，如果A点到平面BCD的距离难以求得，但点B到平面ACD的距离容易求得，那么我们可以利用进行求解。在求解三棱锥或四面体的体积时，要注意观察图形中是否有线面垂直的情况，尽可能寻找以原几何体的表面为底面，并找到底面上的高，利用等体积法计算几何体的体积。
不同几何体的等体积转换：等体积法也可以在不同的几何体之间进行转换，只要判断两个三棱锥是否等底等高就可以利用等体积法求体积。在求三棱锥的体积时，如果底面上的高不易求出，可以通过换顶点运用等体积法求解，或者将三棱锥等分为三个等体积的三棱锥进行转化求解。
2. 等体积法求点到平面的距离
在求空间几何体中的点到平面的距离时，如果难以作出垂线段，或者作出辅助线也难以计算其长度，此时可以利用等体积法求解。例如，在三棱锥A-BCD中，如果顶点A到底面BCD的距离d难以求出，但顶点B到平面ACD的距离h容易求解，那么就可以利用等体积法来求解点到平面的距离。利用等体积法时，要先选择好所求几何体的顶点和底面，尽可能转化为以原几何体的面为底面以便于计算，再结合所学知识求出底面的面积，最后利用三棱锥的体积公式计算出点到平面的距离。
3. 等体积法在线面角和二面角的应用
线面角是由斜线与斜线在平面的射影所组成的图形。在求线面角时，可以利用斜线段、垂线段和斜线在平面内的射影所组成的直角三角形来求解。在解题时可以考虑先用“等体积法”求出点面距离（即垂线段的长度），然后利用直角三角形中的正弦关系求出线面角的正弦值。对于二面角的平面角，可以结合平面外一点到二面角的棱的距离，利用直角三角形的边角关系来求解。
变式训练题
正三棱锥的高为1，底面边长为某值，内部有一个球与四个面相切。我们需要求出这个球的表面积与体积。
