大飞科普精选：23行列式怎么算

所谓爪型行列式，指的是一种形状类似爪子的特殊行列式。它除了第一行和第一列以及对角线之外，其余元素都是零。那么对于这种行列式，我们如何求其值呢？下面我们通过一些具体的例子来解析其解法。

对于最典型的爪型行列式，其特点是对角线上的元素相同，第一行和第一列除了第一个元素外都相同。例如n阶行列式D表示为：

D = |x, a, a, … a; a, x, 0, … , 0; a, 0, x, … , 0; … ; a, 0, 0, … , x| 其中x不等于0。我们可以通过以下步骤求解：

我们将除了第一列之外的其他列都乘以-a/x，并全部加到第一列上。这样操作后，我们得到：

D = |x-(n-1)a²/x, a, a, … a; 0, x, 0, … , 0; 0, 0, x, … , 0; … ; 0, 0, 0, … , x|。这是一个上三角行列式，它的值等于对角线上所有元素的乘积。我们可以得出D的值为：

D = x^(n-1) (x-(n-1)a²/x) = x^n-(n-1)a²x^(n-2)。

如果第一行除了第一个元素外其他元素都是b，那么求解方法类似，结果会稍有不同，但基本思路是一致的。对于一般的n阶爪型行列式，我们可以将其第一列除了第一个元素外的所有元素化为零，从而将行列式转化为上三角行列式。这样，对角线上所有元素的乘积就是行列式的值。

具体如何操作呢？除了第一列外，我们将第j列乘以-a_(j-1)/xj（其中j=2,3,…,n），然后都加到第一列上。这样我们得到：

D = |x1-求和(从j=2到n)a_(j-1)b_(j-1)/xj, b1, b2,…b_(n-1); 0, x2, 0,… , 0; 0, 0, x3,… , 0; … ; 0, 0, 0,… , xn|。其值等于 (x1-求和(从j=2到n)a_(j-1)b_(j-1)/xj) 乘以从k=2到n的xk的乘积。

我们通过一道真题来实例演示这种爪型行列式的求解方法。求n阶爪型行列式：D = |1,2,3,…n; 2,1,0,… , 0; 3,0,1,… , 0; … ; n, 0, 0,… , 1|。这个行列式的第一行是正整数列，第二行也是正整数列，对角线上的元素都是1。我们可以代入之前推导的公式来直接得到答案。这里涉及到正整数平方数列前n项和的公式，最终得出D = 2 - n(n+1)(2n+1)/6。

需要注意的是，这里探讨的是最典型的爪型行列式。如果对其进行变形，即使微小的改变也可能导致结果的巨大变化。在学习这类问题时，我们需要有探究的精神，不能简单地想通过套用公式来解决所有同类问题。