加权平均数怎么算方差

加权平均数（Weighted Mean）是一种在计算平均值时，根据各个数值的重要性或大小进行加权的方法。方差是衡量一组数据分散程度的统计量，它描述了每个数据点与平均值的偏差的平方的平均数。

我们来定义一下什么是加权平均数和方差：

加权平均数：

假设我们有一组数据 $x_1, x_2, ..., x_n$，其中 $x_i$ 表示第 $i$ 个数据点。加权平均数 $W_m$ 可以通过以下公式计算：

$$ W_m = \frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} $$

其中，$w_i$ 是第 $i$ 个数据点的权重，通常由其重要性决定。

方差：

方差 $\sigma^2$ 是衡量数据分散程度的一个指标，定义为各数据点与平均值之差的平方的平均值。对于一组数据 $x_1, x_2, ..., x_n$，其方差 $\sigma^2$ 可以表示为：

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - W_m)^2}{n} $$

现在，让我们逐步推导如何计算加权平均数的方差：

1. 计算加权平均数：

我们已经定义了加权平均数的公式，即：

$$ W_m = \frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} $$

2. 计算方差：

方差 $\sigma^2$ 的计算公式是：

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - W_m)^2}{n} $$

这里，$\sum_{i=1}^n (x_i - W_m)^2$ 是所有数据点与加权平均数之差的平方的总和，而 $n$ 是数据点的数量。

3. 简化方差公式：

为了简化计算，我们可以将 $\sum_{i=1}^n (x_i - W_m)^2$ 重写为：

$$ \sum_{i=1}^n (x_i - W_m)^2 = \sum_{i=1}^n w_i (x_i - W_m)^2 $$

然后，我们可以将这个求和表达式代入方差公式中：

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n w_i (x_i - W_m)^2}{n} $$

这样，我们就得到了加权平均数的方差公式。

通过上述步骤，我们得到了加权平均数的方差计算公式。这个公式可以帮助我们更好地理解加权平均数的性质，以及如何评估数据的分散程度。