手把手带你推导两组数据方差公式，超简单易懂！

好的，我们来手把手推导一下两组数据的方差公式，保证超级简单易懂！

想象一下，我们有两组数据：

第一组数据： \( x_1, x_2, x_3, \dots, x_n \)

第二组数据： \( y_1, y_2, y_3, \dots, y_n \)

这里的 \( n \) 代表每组数据有多少个数。

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第一步：计算每组数据的平均值 (均值)

第一组数据的平均值 (\( \bar{x} \)) 是怎么算的？

就是把第一组里所有数加起来，再除以数的个数 \( n \)。

\[

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}

\]

第二组数据的平均值 (\( \bar{y} \)) 是怎么算的？

同理，把第二组里所有数加起来，再除以数的个数 \( n \)。

\[

\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + y_3 + \dots + y_n}{n}

\]

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第二步：计算每个数据点与对应平均值的偏差

第一组中，每个数 \( x_i \) 和平均值 \( \bar{x} \) 的差是多少？

\[

(x_i - \bar{x})

\]

我们需要计算所有这些差的平方。

第二组中，每个数 \( y_i \) 和平均值 \( \bar{y} \) 的差是多少？

\[

(y_i - \bar{y})

\]

我们也需要计算所有这些差的平方。

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第三步：计算偏差平方的平均值（这就是方差！）

方差衡量的是数据点偏离平均值的平均程度。我们怎么计算这个“平均程度”呢？

1. 对第一组： 把所有 \( (x_i - \bar{x}) \) 的平方加起来，得到一个总和 \( \sum (x_i - \bar{x})^2 \)。

2. 对第一组： 把这个总和除以数据的个数 \( n \)。

\[

\text{第一组方差} (s_x^2) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}

\]

这里的 \( \sum \) 就是“把下面所有东西加起来”的意思，\( i \) 从 1 到 \( n \) 代表每一个数据点。

3. 对第二组： 把所有 \( (y_i - \bar{y}) \) 的平方加起来，得到一个总和 \( \sum (y_i - \bar{y})^2 \)。

4. 对第二组： 把这个总和除以数据的个数 \( n \)。

\[

\text{第二组方差} (s_y^2) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}{n}

\]

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总结：两组数据的方差公式

所以，我们得到了两组数据的方差公式：

第一组数据的方差：

\[

s_x^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}

\]

第二组数据的方差：

\[

s_y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}{n}

\]

简单来说，方差就是：

1. 拿出数据。

2. 算出平均数。

3. 看每个数据点离平均数有多远（差值）。

4. 把每个差值平方一下（这样负差值和正差值就不会互相抵消了）。

5. 把所有平方后的差值加起来。

6. 把这个总和除以数据的总个数。

恭喜你！通过这三步，我们就推导出了两组数据的方差公式。是不是很简单？