多维随机变量之和怎么算？公式推导过程全解析！

多维随机变量之和的计算涉及对其各个分量进行加和。假设我们有两个多维随机变量 \(\mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)\) 和 \(\mathbf{Y} = (Y_1, Y_2, \ldots, Y_n)\)，其中 \(X_i\) 和 \(Y_i\) 分别是它们在第 \(i\) 维的分量。我们定义一个新的随机变量 \(\mathbf{Z} = \mathbf{X} + \mathbf{Y}\)，即 \(\mathbf{Z} = (Z_1, Z_2, \ldots, Z_n)\)，其中 \(Z_i = X_i + Y_i\)。

为了计算多维随机变量之和的期望和方差，我们需要使用期望和方差的线性性质。

1. 期望的计算：

\[

\mathbb{E}[\mathbf{Z}] = \mathbb{E}[\mathbf{X} + \mathbf{Y}] = \mathbb{E}[\mathbf{X}] + \mathbb{E}[\mathbf{Y}]

\]

具体到每个分量：

\[

\mathbb{E}[Z_i] = \mathbb{E}[X_i + Y_i] = \mathbb{E}[X_i] + \mathbb{E}[Y_i]

\]

2. 方差的计算：

方差的计算稍微复杂一些，因为需要考虑协方差。对于独立随机变量 \(X_i\) 和 \(Y_i\)，协方差为零，因此：

\[

\text{Var}(Z_i) = \text{Var}(X_i + Y_i) = \text{Var}(X_i) + \text{Var}(Y_i)

\]

但如果 \(X_i\) 和 \(Y_i\) 不独立，我们需要考虑协方差：

\[

\text{Var}(Z_i) = \text{Var}(X_i + Y_i) = \text{Var}(X_i) + \text{Var}(Y_i) + 2\text{Cov}(X_i, Y_i)

\]

综上所述，多维随机变量之和的期望是各个分量期望的和，而方差是各个分量方差的和，加上两两分量协方差的两倍。这个推导过程展示了如何利用期望和方差的线性性质来简化多维随机变量的计算。