多维随机变量之和怎么算？公式推导过程全解析！

多维随机变量之和的计算基于线性组合和期望的性质。设 \( \mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) 是一个 \( n \) 维随机向量，\(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) 是一个 \( n \) 维常数向量，则线性组合 \( Y = \mathbf{a} \cdot \mathbf{X} = \sum_{i=1}^n a_i X_i \) 也是一个随机变量。期望 \( \mathbb{E}[Y] \) 可以通过以下公式计算：

\[ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[\sum_{i=1}^n a_i X_i] = \sum_{i=1}^n a_i \mathbb{E}[X_i] \]

这个公式的推导基于期望的线性性质，即对于任意随机变量 \( X_i \) 和常数 \( a_i \)，期望值满足线性组合的运算。具体步骤如下：

1. 定义随机变量和常数向量：设 \( \mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) 和 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \)。

2. 构造线性组合：定义随机变量 \( Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i \)。

3. 应用期望的线性性质：根据期望的线性性质，有

\[ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n a_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[a_i X_i] \]

4. 常数与随机变量乘积的期望：由于 \( a_i \) 是常数，可以提到期望符号外，即

\[ \mathbb{E}[a_i X_i] = a_i \mathbb{E}[X_i] \]

5. 最终公式：将上述结果代入，得到

\[ \mathbb{E}[Y] = \sum_{i=1}^n a_i \mathbb{E}[X_i] \]

这个公式表明，多维随机变量线性组合的期望等于各个分量的期望的线性组合。