求下列微分方程的通解

微分方程的基本概念

在众多实际问题中，描述运动变化现象的变量间函数关系显得尤为重要。尽管有时直接建立这种函数关系较为困难，但基于问题所给条件，我们往往能够推导出含有未知函数及其导数的关系式。

这种关系式，即被称为微分方程。

本文将详细阐述微分方程的基本概念及其相关内容。

一、引例

考虑一个几何问题：平面上存在一条曲线，该曲线经过点（1,3），且曲线意一点的切线斜率为该点的X坐标的三次方。求该曲线的方程。

二、微分方程的定义及阶数

通常，包含未知函数的导数或微分的方程被称为微分方程。

若微分方程中的未知函数是单一变量函数，则该方程被称为常微分方程；若是多元函数，则称为偏微分方程。

微分方程的阶数指的是微分方程中未知函数的导数或微分的最高阶数。

例如，一阶微分方程、三阶微分方程等。

三、微分方程的解

满足微分方程的函数被称为该微分方程的解。

解主要分为通解和特解两种。

通解是指含有任意常数的解，且这些常数的数量与微分方程的阶数相同。例如，二阶微分方程的通解应包含两个相互独立的任意常数。但需注意，并非所有含有任意常数的解都是通解。

以我们所熟知的匀加速直线运动路程表达式为例：

s = ½at² + vt

这便是一个关于时间t的二阶微分方程，其中的a与v即为两个任意常数。

特解则是满足初值条件的解。初值条件通常是已知的，如上述引例中曲线的过点条件。