最小的质数是2,揭秘奇数中的素”颜


最小公倍数
定义
现代数学:
最小公倍数是一种特殊的公倍数。设 a1、a2、…、an 为 n 个整数 (n ≥ 2,n ∈ N+),它们的公倍数有无穷多个,其中最小的正的公倍数 m,称为 a1、a2、…、an 的最小公倍数。最小公倍数通常用方括号表示,记为 m = [a1,a2,…,an]。
性质
- a1、a2、…、an 的最小公倍数 m,是这组数的其他所有公倍数的真因数。
- [a1,a2,…,an] = [[a1,a2,…,an-1], an]。
- 在一组正整数中,若最大的那个正整数恰是其余各数的倍数,则该数即为这组数的最小公倍数。
- 如果一组正整数两两互质,则这组数的乘积就是它们的最小公倍数。
- 若 a、b 都是正整数,则有 ab = (a, b) [a,b],即两个正整数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积,当 (a, b) = 1 时,有 ab = [a,b]。
- 若 a、b 都是大于 1 的正整数,它们的标准分解式为 a = p1^α1 p2^α2 ... ps^αs,b = p1^β1 p2^β2 ... ps^βs,式中 p1 < p2 < ... < ps 是素数,αi、βi(i = 1,2,…,s)是非负整数,则 [a, b] = p1^max(αi, βi) p2^max(αi, βi) ... ps^max(αi, βi)(i = 1,2,…s)。这一性质可以推广到有限个正整数的最小公倍数的情形。正整数 a1、a2、…、an 的最小公倍数还可记为 {a1,a2,…,an}、L.C.M(a1,a2,…,an) 等。
小学数学:
小学数学教学中没有明确定义最小公倍数。重点是引导学生在充分认识公倍数的基础上,理解最小公倍数是指一组正整数公倍数中最小的一个。
概念解读
最小公倍数是公倍数的一种特殊形式,它是一组正整数无穷多个公倍数中最小的。
最小公倍数与通分有密切联系。异分母分数在比较大小或进行加减法时需要通分,即把异分母分数化为和原来分数相等的同分母分数。通分过程中,用异分母分数分母的最小公倍数做公分母最简单。
求最小公倍数的方法
求一组正整数的最小公倍数有以下几种方法:
- 列举法:适用于求较小正整数的最小公倍数,将其公倍数列举出来,找到最小的一个。
- 短除法:适用于可整除所有正整数的情况,逐次去除从小到大的质数,直到被除数互质,将所有除数和商相乘即为最小公倍数。
- 分解质因数法:将正整数分解质因数后,最小公倍数等于它们公有质因数和独有质因数的乘积。
教学建议
- 在问题解决中经历概念产生过程。
- 分类研究求最小公倍数的方法,培养思维灵活性。
- 分析比较最小公倍数和最大公因数的特殊类型。
推荐书目
- 《小学数学的基础理论》(钟善基、李家骏,北京师范大学出版社,1996)