质数有哪些(类型、规律和应用)


一.概念描述

现代数学:大于1的整数,除1和它本身以外,没有其他约数,这样的数称为质数,也称素数。大于1的整数,除1和它本身以外,还有其他约数,这样的数称为合数。

小学数学:2004 年北京版教材第 10 册第 56 页提出:一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数称为质数(也称为素数)。一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数称为合数。

2013 年人教版教材五年级下册第 23 页提出:一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数称为质数(或素数)。一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数称为合数。

二.概念解读

① 由质数和合数的概念可知,在非0的自然数中,1既不是质数也不是合数。历史上曾将1也包含在质数之内,但后来为了算术基本定理,最终1被数学家排除在质数之外。在小学阶段,学生学习质数和合数,为后面学习求最大公因数、最小公倍数以及约分、通分打下基础。

② 在数论中,质数有着重要地位,一直吸引着许多数学家不断去探索。2500年前,古希腊数学家欧几里得证明了质数的个数是无限的,并提出少量质数可写成“2的n次方减1”的形式---这里n也是一个质数。此后,许多数学家曾对这种质数进行研究。17世纪的法国教士梅森是其中成果较为卓著的一位,因此后人将“2的n次方减1”形式的质数称为梅森质数。

由于梅森质数有许多独特的性质和无穷的魅力,千百年来一直吸引着众多的数学家,如欧几里得、费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等和无数的业余数学爱好者对它进行研究和探寻。目前,人类仅发现 47 个梅森质数。其中最大的质数是第46个梅森质数“2的-1”,该质数有12978189位。如果用常用的二号字将这个巨数连续写下来,其长度可超过50千米!是否有无穷多个梅森质数是数论中未解决的难题之一。由于这种质数珍奇而迷人,因此被人们誉为“数海明珠”。

特别值得一提的是,我国数学家和语言学家周海中于 1992 年首先给出了梅森质数分布的准确表达式,从而揭示了梅森质数的重要规律,为人们探寻梅森质数提供了方便。后来这一成果被学术界命名为“周氏猜测”。

梅森质数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大质数的最有效途径。它的探究推动了数学皇后---数论的研究,促进了计算技术、程序设计技术、网络技术、密码技术的发展以及快速傅里叶变换的应用。

由于探寻梅森质数需要多种学科和技术的支持,所以许多科学家认为:梅森质数的研究成果,在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国顶尖科学家马克斯·索托伊甚至认为,它是人类智力发展在数学上的一个标志,也是科学发展的里程碑。

三.质数的应用

质数近年来被应用在密码学上,所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人。任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找质数的过程),将会因为找质数的过程过久,使得即使取得密文也会无意义。

再有,在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个齿轮齿数最好设计成质数,目的是增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,这样可增强耐用度,减少故障。

在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用次数之间的关系上,杀虫剂的质数次数的使用效果最好也得到了证明。实验表明,质数次数地使用杀虫剂是最合理的:都是在害虫繁殖的高潮期使用,而且害虫很难产生抗药性。

在军事上,以质数形式无规律变化的导弹和可以使敌人不易拦截。

四.有趣的质数

a.孪生质数

孪生质数指的是间隔为2的相邻质数,它们之间的距离已经近得不能再近了,就像孪生兄弟一样。

最小的孪生质数是(3,5),在100以内的孪生质数还有(5,7),(11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61)和(71,73),总计有8组。

截至2009年年底,人们发现的晟大的孪生质数是:2003663613·2的±1,这一对质数都长达100355位。

b幸运质数

幸运质数是既是质数又是幸运数的数。幸运数是1955年波兰数学家乌拉姆提出的,经由类似埃拉托斯特尼筛法(一种用删去法检定质数的算法)的算法后留下的整数集合,具体包括:1、3、7、9、13、15、21、25、31、33、37、43、49、51、63、67、69、73、75、79、87、93、99---1000以内的幸运质数为:3,7,1 3,31,37,43,67,73,79,127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367,409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673,727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997。

c.回文质数

回文质数是既是质数也是回文数的整数,像11,101,131,151,181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929等。

目前还不知道在十进制中是否有无穷多个回文质数。已知最大的回文质数为10的+ 248797842x1