sinwt的傅里叶变换怎么求？手把手推导，附详细步骤图解

`sinwt` 的傅里叶变换可以使用傅里叶变换的定义和性质来求解。下面是一个详细的推导过程：

傅里叶变换的定义是：

\(F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-2\pi i ut} dt\)

其中，\(f(t)\) 是原函数，\(F(u)\) 是 \(f(t)\) 的傅里叶变换，\(u\) 是频率。

考虑 \(f(t) = \sin wt\)，我们知道正弦函数可以表示为复指数函数的形式：

\(\sin wt = \frac{e^{iwt} - e^{-iwt}}{2i}\)

接下来，我们将这个表达式代入傅里叶变换的定义中：

\(F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iwt} - e^{-iwt}}{2i} e^{-2\pi i ut} dt\)

由于傅里叶变换的线性性质，我们可以将上式拆分为两部分：

\(F(u) = \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} e^{iwt} e^{-2\pi i ut} dt - \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-iwt} e^{-2\pi i ut} dt\)

对于第一部分，我们有：

\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{iwt} e^{-2\pi i ut} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{(w-2\pi u)it} dt\)

当 \(w eq 2\pi u\) 时，该积分为0，因为 \(e^{(w-2\pi u)it}\) 是一个振荡函数，其积分在整个实数轴上为0。

对于第二部分，我们有：

\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-iwt} e^{-2\pi i ut} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(w+2\pi u)it} dt\)

同样地，当 \(w eq -2\pi u\) 时，该积分为0。

只有当 \(w = 2\pi u\) 时，傅里叶变换不为0。我们得到：

\(F(u) = \frac{1}{2i} \times 2\pi \delta(2\pi u - w)\)

其中，\(\delta(x)\) 是Dirac delta函数，其定义是：

\(\delta(x) = \begin{cases}

1, & \text{if } x = 0 \\

0, & \text{if } x eq 0

\end{cases}\)

\(F(u) = \frac{\pi}{i} \delta(u - \frac{w}{2\pi})\)。

注意，这里我们假设了 \(w eq 0\)，因为当 \(w = 0\) 时，\(\sin 0 = 0\)，其傅里叶变换也是0。

综上，\(\sin wt\) 的傅里叶变换为：

\(F(u) = \frac{\pi}{i} \delta(u - \frac{w}{2\pi})\)

其中，\(\delta(u - \frac{w}{2\pi})\) 是一个Dirac delta函数，表示在频率 \(u = \frac{w}{2\pi}\) 处有一个峰值。

这就是\(\sin wt\)的傅里叶变换的求解过程。