探索杨辉三角系数的奇妙规律：揭秘隐藏在数字背后的数学之美

杨辉三角，也称为帕斯卡三角形或二项式系数三角形，是数学中一个非常有趣的概念。它是由数学家杨辉在13世纪提出的，用于展示二项式定理的展开形式。杨辉三角的每一行都由上一行的两倍组成，除了第一行和第二行。

杨辉三角的每一项可以表示为：

第n行的第k个数字 = 2 (第n-1行的第k-1个数字 + 第n-1行的第k个数字)

这个公式揭示了杨辉三角的一个美妙规律：每一行的数字都是前一行的两倍，除了第一行和第二行。这种模式不仅适用于杨辉三角，还广泛应用于其他数学领域，如斐波那契数列、二项式定理等。

杨辉三角的奇妙之处在于它的对称性和递归性质。例如，如果我们将杨辉三角的第三行展开，我们会得到以下序列：

1, 1, 2, 4, 7, 12, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074, 32951270149, 53316330219, 86249460309, 139593280508, 225817140707, 364261521416, 599344642234, 956731164674, 1542468907028, 2550907014116, 4103314028244, 7206628056412, 12410948116888, 20611876233776, 35223754471552, 59047528946288, 98295286393144, 160590634796288, 259181292388432, 418362584776964, 696725169554328, 1104087333512960, 1790314667105920, 2886633001611840, 4673266004223760, 7546532008447520, 1222906400170340, 1912368801997160, 3024737603994320, 4957475207991680, 7914950415983360, 1286990083997732, 2173980167995464, 3550970335993328, 5994940672991656, 9589880145986912, 15579760311984648, 26069620623973296, 41139440947951232, 67218861295946464, 10445936219190864, 16291872438381728, 26783744676763457, 43567489353546913, 69334938611023846, 11307037722606833, 17778742049011466, 28657526095208232, 46325052140104892, 63295110281017764, 92305120562035544, 154610241120183288, 259220402240368736, 448840804480735464, 707681608961470224, 1155763217729341008, 1851526435458682432, 2753288861317766872, 4556825309135533704, 7551650604271067448, 12558401206530752976, 19567311646740521416, 37549423293141042504, 62571744470282085008, 110143867940560370032, 1790314667105920, 2886633001611840, 4673266004223760, 7546532008447520, 1222906400170340, 1912368801997160, 3024737603994320,