三角形角平分线探究：数量与全等三角形判定（截长补短法）详解

在探究三角形角平分线的性质时，我们可以通过“截长补短法”来验证角平分线定理，并利用全等三角形判定方法来辅助证明。角平分线定理指出，在三角形中，角平分线将对边分成的两条线段与另一边上的点到两边的距离成比例。为了证明这一点，我们可以采用截长补短法。

具体来说，假设在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且交BC于点D。我们可以在BD上截取一段BE，使得BE=CD，然后将EC延长至点F，使得EC=BE。这样，我们就得到了两个相等的线段BE和EC。

接下来，我们连接AE和AF。由于BE=EC，根据截长补短法，我们可以得到△ABE≌△ACF（SAS判定）。这是因为AB=AC（三角形的两边相等），∠BAD=∠CAD（角平分线定义），且BE=EC（我们截取的线段相等）。

由于全等三角形的对应边相等，我们可以得到AF=AE。根据角平分线定理的逆定理，如果一条直线将一个角分成两个相等的角，并且与对边相交，那么这条直线将对边分成的两条线段与另一边上的点到两边的距离成比例。因此，我们可以得出结论：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且交BC于点D，那么BD/DC=AB/AE。

通过这种方法，我们不仅验证了角平分线定理，还利用了全等三角形的判定方法，从而更加深入地理解了三角形角平分线的性质。