偏导存在一定连续吗

多元函数中，说到可微，指的是全微分存在；而可导，则是指偏导数存在。

全微分的概念可以通过与切平面方程的比较来更好地理解。想象一下，在A点（x0,y0）和B点（x,y）之间向上作两条垂线与切平面相交于M、N两点。这两点的高度分别是z0和z，而(z-z0)可以看作是dz。在这种情况下，全微分就是M、N两点之间的高度差。换句话说，全微分代表了切平面上两点间的高度变化，如下图所示：

通过上面的分析，我们可以知道，微分存在的前提是切平面的存在。而切平面的存在则要求曲面在这一点上的每个方向的偏导数都必须存在，如图所示。

图1

结合二元函数的几何意义，如果曲面上通过某点的任何方向的曲线都有切线，且这些切线都在同一个平面上（即切平面），那么切平面就存在。这也说明，这一点的偏导数必须是连续的。只有偏导数连续时，才能保证微分存在。

反过来并不一定。即使微分存在，也不能保证其他方向的偏导数连续存在。只要曲面上的某一点在x和y两个方向的偏导数存在，就可以说是可导的。

偏导数的几何意义在于，当我们在球面和柱面的交界处时，偏导数肯定是不连续的。

简而言之：

1. 当偏导数连续时，表示切平面存在，从而函数可微。

2. 但反过来，函数可微并不一定意味着偏导数连续。