函数定义域和值域的基本知识（《白话高中数学》-抽象函数的定义域、周期性和对称性问题）

二、增加实例和案例

三、调整段落结构和内容

想要学习数学，那就必须要掌握函数。那么，怎样才能更好地掌握函数呢？我们需要弄清楚函数的三大要素：定义域、解析式和值域。还要了解函数的五大特性：单调性、奇偶性、周期性、对称性和凹凸性。

我们来通过一个例子来说明函数的概念：假设有一个数集A和另一个数集B，存在一个运算规则f，将A中的元素转化为B中的元素。这个运算规则f就是函数。具体地说，如果从A中拿出一个元素（不一定要说出一个具体的数值哦），经过函数f的运算后，可以在B中找到一个唯一的对应值。就像一个加工厂，把原材料进行加工后变成产品一样。

在上图中，函数f就是将A中的元素进行平方后放到B中。A被称为函数f的定义域，f是函数（进行平方计算），B中的一部分是函数f的值域。我们可以用一个表达式来记录这个函数的计算规则，这个表达式就叫做函数f的解析式。有了这个解析式，只要给自变量x一个数值，就可以得到一个确定的函数值。

这只是针对具体函数的操作，在中学阶段，我们还会学到一种没有明确的表达式的抽象函数。比如说，我们可能会看到一个函数没有给出明确的解析式，但是给出了和其他函数的关系式，那它可能就是我们常说的抽象函数。

无论是具体函数还是抽象函数，都有一些问题必须明确：1. 返回值唯一。这是必须强调的，如果自变量赋值后返回值不唯一，那就不能称之为函数。2. 定义域的概念要搞清楚，尤其是抽象函数。

现在我们先从具体函数开始：上面的式子告诉我们，f是对括号里的x进行平方计算。如果现在f的定义域是A，当x取-1、1、2等值时，对应的B集合会出现1和4这两个返回值。

现在我们抽象一下：如果x=at+b，那f就是对at+b进行平方计算。这种代换看起来非常和谐！确实如此。at+b也必须在定义域中。

我们此时知道了函数定义域的规则：如果一个函数的定义域是确定的，那么在这个函数的表达式中，无论括号里面是一个单独的变量还是一个由多个变量组成的多项式（中间变量），都必须满足这个定义域的要求。只要这个计算规则（也就是函数）不改变，它后面括号里的任何赋值都必须满足它从出生就确定的必须满足的范围。

再举一个反例：如果已经定义f(x)=1/x，那么它的定义域就确定了：x不能取0。那么换元后的同一个函数f(3x+4)，它括号里的3x+4也不能取0。这时候表现出来的数据就是：x不能等于-4/3。对于定义域，我们可以进行符号化：若f（x）的定义域为……

掌握了函数的定义域后，我们还要了解函数的周期性和对称性。但是探讨函数的周期性首先必须明确函数的奇偶性。只要f(-x)=-f(x)，也就是图像关于原点对称，那么它就是奇函数。同样，只要函数图像关于y轴对称，那么它就是偶函数。偶函数的图像关于直线x=0对称和关于直线x的正值部分具有相同高度即F正F负对称的特性也体现了这一点即偶函数的性质与判定方法都是关于直线对称的。对于奇偶性的理解有助于我们进一步探讨函数的周期性对称性等性质。掌握了这些性质我们就可以解决一些复杂的数学问题。如对于一些周期性问题我们就可以利用函数的周期性和对称性进行分析解决。而抽象函数的周期性也可以结合其他已知条件来确定周期等属性。总体来说要想深入学习理解掌握并灵活应用各种函数的特性我们还需要不断进行思考和探索并结合具体问题进行应用解决以提高自己的解题能力和思维能力。通过学习我们不仅能够深入理解数学知识也能够提升我们的逻辑思维能力和解决问题的能力为我们的未来发展打下坚实的基础！！所以在学习中我们应时刻保持积极的态度并不断进行自我提升和创新。在下一篇文章中我们将进一步探讨函数的值域计算等问题欢迎大家继续关注并一起探讨学习进步！！