三角形的重心有什么性质（三角形五心之一垂心的各种优雅的性质 - 卡拉数学）

三角形的奥秘首先体现在其各种“心”的构造上：三角形内部的每一条具有几何意义的线段都会交于一点。三角形的角平分线交于一点，此点称为“内心”，也是三角形内切圆的圆心；三边的中垂线交于一点，称为“外心”，是三角形外接圆的圆心；中线也交于一点，被称为“重心”，因为它确实位于三角形的重心位置。通过力学方法，我们可以迅速推导出它位于各中线的三等分点处。这些“心”会在文章的后半部分展现其惊人的作用。

三角形五心之一：旁心及性质介绍

三角形的高线同样交于一点，称为“垂心”。垂心初看似乎并不起眼，但深入研究后会发现许多奇妙的结论。由于两个斜边重合的直角三角形会产生共圆的四点，因此画出三角形的高后，会出现大量四点共圆的情况，从而引发一系列精彩的结论。让我们先来看一个简单直接的定理：

定理：如果D、E、F分别是△ABC三边上的高的垂足，那么∠1 = ∠2。

证明过程如下：由于∠AFC = ∠ADC = 90，所以A、C、D、F四点共圆，因此∠1 = 180 – ∠CDF = ∠A。同理，由于A、B、D、E四点也共圆，所以∠2 = ∠A。∠1 = ∠2。

如果我们把三边垂足构成的三角形称为“垂足三角形”，我们有一个听起来很酷的推论：

推论：三角形的垂心是其垂足三角形的内心。

证明过程如下：因为AD垂直于BC，而刚才已经证明了∠1 = ∠2，所以∠3 = ∠4，即HD平分∠EDF。类似地，HE、HF都是△DEF的内角平分线，因此H是△DEF的内心。

另一个有趣的推论如下：

推论：将△ABC沿AC翻折到△AB’C，假设EF翻折到了EF’，则EF’和DE共线。

证明：这可以直接由上图中的∠1 = ∠2推出。

在1775年，Fagnano提出了一个问题：在给定的锐角三角形ABC中，什么样的内接三角形具有最短的周长。这个问题被称为“Fagnano问题”。Fagnano自己给出了答案：周长最短的内接三角形就是垂足三角形。接下来我们将证明这个结论。

定理：在△ABC的所有内接三角形中，垂足三角形△DEF拥有最短的周长。

证明过程需要通过翻折和计算折线段的总长度来证明，这里不再赘述。

垂心的本领还不止于此。四点共圆还会带来其他的等角。例如，若D、E、F分别是△ABC三边上的高的垂足，则会有∠1 = ∠2的等角情况出现。这将为我们带来一个非常漂亮的推论。

推论：将△ABC的垂心H沿BC边翻折到H’，则H’在△ABC的外接圆上。证明过程依赖于对称性和角度的计算。还有一个更加对称美观的结论：若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，H是垂心，则AHDH = BHEH = CHFH。证明过程涉及到相交弦定理和相似性的应用。还有一个关于外接圆的定理和推论关于三角形垂心、重心和外心的共线性质以及它们之间的位置关系等等。这些结论都是初等几何中的瑰宝值得深入研究和理解它们背后的数学原理和应用价值同时这些结论也为数学爱好者提供了广阔的探索空间让我们继续探索和欣赏数学的奇妙世界吧！此外我们的自媒体将继续分享数学趣题解题技巧致力于数学科普和拓展数学思维每日更新觉得内容有兴趣的可以长期关注哦！