矩阵和伴随矩阵到底有啥联系？

矩阵与其伴随矩阵之间存在着密切而重要的联系，主要体现在行列式、逆矩阵以及线性方程组的解等方面。首先，伴随矩阵（也称为伴随阵或伴随矩阵）是由一个矩阵的所有余子式（即去掉某一行和某一列后剩下的子矩阵的行列式）的代数余子式所构成的转置矩阵。对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)。

一个核心的联系是矩阵与其伴随矩阵的乘积等于行列式的乘积与单位矩阵的乘积，即A adj(A) = det(A) I，其中det(A)表示矩阵A的行列式，I是n阶单位矩阵。这个关系揭示了伴随矩阵在矩阵求逆过程中的作用。特别地，当det(A)不为零时，矩阵A是可逆的，且其逆矩阵可以表示为A的逆矩阵等于伴随矩阵除以行列式的商，即A^(-1) = adj(A) / det(A)。

此外，伴随矩阵在线性方程组的求解中也有应用。例如，克莱姆法则（Cramer's Rule）利用了矩阵及其伴随矩阵来求解线性方程组。这些联系使得伴随矩阵成为线性代数中的一个重要工具，广泛应用于矩阵运算、方程求解以及矩阵性质的研究中。