散度定理的6个基本公式（静电场高斯定理）

高斯定理是描述静电场基本规律的重要定理之一。现在，我们来在真空环境下推导这个定理。我们考虑场源是一个点电荷的情况。以正电荷q为中心，任意以半径r作一个球面，球面的示意图如所示。

球面上各点的场强大小均为E=kq/r，其中常量k=1／40，方向沿着半径向外，且与球面的法线夹角为0。我们可以通过这个模型求得通过球面S1的电通量。

这个公式表明，电通量与半径r无关，也就是说，对于任意大小的球面，这个公式都是适用的。

如果我们围绕点电荷q作出任意闭合曲面，根据上述推导，我们可以知道它的电通量为q／0，且＞0。如果q是负点电荷，那么＜0。如果闭合曲面S不包含这个点电荷，那么穿出和穿入这个闭合曲面的电场线数量相同，也就是说，通过这个闭合曲面的电通量为零。

接下来，我们考虑场源是任意点电荷的情况。在空间中作出一个任意闭合曲面，第1至第n个点电荷在其内部，而从第n+1至第N个点电荷在其外部。由于上述分析适用于每一个点电荷，所以总电通量应为：

同样地，对于任意带电体系的场源，这个公式都是成立的。在真空静电场中，通过任意一个闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的电荷代数和除以0，这就是我们在真空中所遵循的高斯定理。对于这个定理的解读如下：

高斯定理是通过库仑定律和场强叠加原理推导出来的，揭示了场与场源之间的定量关系。当已知场强分布时，可以由此求出任意区域内的电荷。这一规律与闭合曲面的形状和大小无关。

高斯定理表明了静电场是有源场。所选的闭合曲面被称为高斯曲面。如果内部是正电荷，那么＞0，表示电场线始于正电荷。如果内部是负电荷，那么＜0，表示电场线终止于负电荷。如果没有内部电荷，电场线仅仅是穿过这个闭合曲面而已。

第三，需要强调的是，高斯面是一个假想的任意曲面，并非真实存在的。

值得注意的是，在上述公式中的E是在高斯面上，由面内和面外的所有场源电荷产生的总场强。虽然面外的电荷对E有贡献，但它们对高斯面上的电通量没有贡献，而是可以改变闭合曲面上电通量的分布。公式中的q是在高斯面的内部，而不是外部或面上。而与q的具体分布无关。∑q=0仅表示高斯面内电荷电量的代数和为零，并不意味着没有内部电荷或高斯面上各部分的电通量为零。