直角三角形斜边上的中线等于斜边的（中考压轴：北京2023几何压轴-27题）

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一、题目

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在△ABC中，已知∠B=∠C=（的取值范围为0＜＜45），点M是BC的中点，AM⊥BC。点D在MC上移动但不与M、C重合，将线段DM绕点D顺时针旋转2得到线段DE。

（1）当点E落在AC上时，求证：D为MC的中点；

（2）若在线段BM上存在点F（不与B、M重合），使得DF=DC，连接AE、EF，直接写出∠AEF的大小，并证明。

二、分析

（1）小题相对简单。通过利用2倍角和三角形外角的性质得到等角，然后利用等角对等边的性质，通过等量代换即可证明。

（2)小题较为复杂。

① 猜测结论：

可以直接猜测∠AEF=90，也可以通过图形观察结合题目条件进行简单分析得出此结论。

② 挖掘整理已知条件：

a. 两中点：M是BC中点，D是FC中点，可联想到双中点模型（双角平分线模型与双中点模型），以及等腰三角形（直角三角形或等腰三角形）的中线、中位线、倍长中线等性质。

b. 两等边：AB=AC，DM=DE，可联想到等腰三角形和全等三角形的性质。

c. 二倍角：∠MDE=2∠C=2∠B，可联系到角平分线、等腰三角形顶角的外角、圆心角和圆周角等概念。

d. 一垂直：AM⊥BC，可联想到垂直平分线、等腰三角形的三线合一特性、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等性质。

e. 一平分：AM平分∠BAC，可联系到角平分线的性质和判定、等腰三角形的三线合一、2倍角等概念。还有旋转构图的知识点，如旋转出等腰、旋转全等（手拉手全等模型）、旋转相似（手拉手相似模型或一转成双）等。

③ 入手问题解答：

- 如何证垂直？可以通过证明等腰三角形的三线合一特性、全等于已知的直角三角形、相似于已知的直角三角形等方法进行证明。还可以通过连接AF，证明△ABM与△AFE相似；利用旋转相似知道连接EM后，转化为证明△ABF与△AME相似；通过直径对直角的方法证明点E在以AF为直径的圆上；通过一边上的中线等于这边的一半的性质证明OE=OA=OF；利用角度模型证明∠EAM=∠EFM等方法解答。

三、解答

证明过程主要依据前述分析中的相关知识点进行展开论证，详细证明过程略。最终得出五种简证方法证明∠AEF=90的结论。