线性无关时,秩等于什么（一个简单的线性规划问题）

借助网络上的一个PPT，我们来探讨一个简单的线性规划问题。

线性规划问题的一般形式可以归纳为：寻找一组决策变量 xj (j=1, 2, … , n)，以最大化或最小化目标函数 cj xj，同时满足一系列约束条件，这些条件包括线性等式和不等式，以及变量非负等条件。目标函数的形式通常为 f(x) = cj xj (i=1, 2, … , n)，其中cj为已知实常数。

问题可以进一步转化为：通过引入松弛变量，将原问题中的小于等于号转化为等号。由于问题中存在三个小于等于号，因此我们需要引入三个松弛变量。

为了更快地增加目标函数的值，我们可以选择具有最大正系数的非基变量作为进基，这被称为“规则”。根据这一规则，我们确定非基变量x2的系数为max{2,3}=3，因此选择x2为进基。但需要注意的是，基变量的数量是固定的，等于系数矩阵A的秩m。我们需要确定从现有的基变量x3、x4、x5中哪一个将被替换为非基变量，这被称为“出基”。

从经济角度考虑，无论是生产产品A还是B，都可以增加工厂的利润指标。只要目标函数的表达式中不含基变量且非基变量的系数为正，就意味着目标函数值还有改进的可能。这里以一个具体的生产情境为例，每生产一件产品B需要消耗一定数量的原料。原料的供应量限制了产品B的产量，这体现了出基的选择需要兼顾各种限制条件的思想，也被称为最小比值法则。

在实际操作中，我们需要根据问题的具体情况选择合适的基变量和非基变量。在n维空间中，任意n个线性无关的向量都可以作为基变量。以二维平面为例，任意两个不平行（即线性无关）的向量都可以作为基底，用于表示平面内的任何向量。在实际问题中，我们可以根据问题的具体需求和约束条件，选择适合的基底来表示问题。

关于上述经济情境中的具体计算过程，当满足某些条件时，如令x3=0，x5=min{2,6}=2时，才能满足非负条件。对应的最小比值2的基变量是x4，因此x4被换出。然后通过一系列的计算和代入，最终得到问题的解。

线性规划问题的求解过程涉及到目标函数、约束条件以及基变量的选择等多个方面。在实际问题中，我们需要根据具体情况灵活选择适当的方法和技巧来求解。