原函数不是初等函数的例子

数学界长期悬而未决的一个谜题终于被解开了。这个谜题与经典的佩尔（Pell）方程有关，这是一个在初等数论中广为人知的方程：x² - dy² = 1。其中，d是整数，而x和y的解也必须是整数。对于这个方程，数学家们已经有了相当的了解。当d≤0或者d是一个大于0的完全平方数时，该方程的唯一解是x=±1，y=0。而当d>0且不是完全平方数时，该方程有无数的正整数解。当方程右侧的等号变为负号时，情况就变得复杂得多。这就是所谓的负佩尔方程（也被称为II型佩尔方程）。这个新的方程在改变后使得整数解的情况变得非常复杂。早在1993年，数学家彼得·史蒂文哈根（Peter Stevenhargen）就提出了一个公式来描述这种方程的解的情况，但这个猜想在数学界一直悬而未决，长达三十年之久。直到最近，来自康考迪亚大学的卡罗·帕加诺（Carlo Pagano）和密歇根大学的皮特·科伊曼斯（Peter Koymans）给出了这个猜想的正确答案。帕加诺的导师Hendrik Lenstra教授评价这一成果为“数论的一个分支开辟了新篇章”。

让我们先来了解一下经典的佩尔方程的起源。其实，佩尔方程与法国数学家佩尔并无直接关系。这一理论最早由费马（Pierre de Fermat）进行研究，并由拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）给出了解决方案。后来因为欧拉（Leonhard Euler）的误记，使得人们误以为这是佩尔提出的理论，于是这个名称就流传了下来。当d是正整数且不是完全平方数时，佩尔方程有无穷多的解。例如在数学史上著名的阿基米德群牛问题中，该问题就被转化为求解一个特定的佩尔方程。这个问题激发了众多数学家的兴趣，并在一系列计算后找到了解决方案。与此不同，负佩尔方程的整数解情况更为复杂和神秘。对于负佩尔方程来说，只有当d满足一定的条件时，才有整数解存在。而对于给定的d值，还需要找到负佩尔方程的基本解才能求出其通解。科学家们通过一系列的研究和计算，逐渐揭示了负佩尔方程的解的一些规律。这两位成功证明了这个猜想长达三十年的数学家们分别是卡罗·帕加诺和皮特·科伊曼斯。他们的研究轨迹相似，都在数论领域有深入的研究和成果。为了完成这项研究，他们花了一年的时间几乎每天都在一起讨论和研究这个问题通过黑板上的各种计算和交流彼此的想法来完善解决方案科学家们评价这项研究的成果虽然非常有挑战性但对于他们来说非常有趣虽然面对困难但最终证明是令人愉快的参考链接：一、关于佩尔方程的背景介绍二、两位数学家的简介及研究经历三、关于这项研究的详细论文四、其他相关的在线资源等等值得一提的是他们两人的学习轨迹有很多重合之处并且在研究生时期还是同学他们一起克服了诸多困难最终成功地解决了这个长期悬而未决的问题让人们对于数论有了更深入的了解对于这两位数学家来说这是一个令人兴奋的成果也是对他们辛勤努力的最好回报总的来说这项研究展示了数学领域的奇妙和魅力并为我们提供了更深入的理解和探索数论的机会