奇函数除以偶函数(函数运算与奇偶性分析)


奇偶函数运算后的奇偶性
奇函数与偶函数的加、减运算
当奇函数 f(x) 与偶函数 g(x) 进行加减运算时,其结果函数 h(x) = f(x) g(x) 的奇偶性如下:
例题
已知 f(x) 为奇函数,g(x) 为偶函数,且定义域相同。求证 h(x) = f(x) + g(x) 不是奇偶函数。
证明
定义域对称性: h(x) 的定义域关于原点 O 对称。
奇偶性: h(–x) = f(–x) + g(–x) != h(x) 且 –h(–x) != h(x)。
h(x) 不是奇偶函数。
举例说明:
f(x) = x,g(x) = x。h(x) = x + x。则 h(–x) = –x + x != h(x) 且 –h(–x) = x – x != h(x)。
偶函数与奇函数的乘除运算
当偶函数 f(x) 与奇函数 g(x) 进行乘除运算时,其结果函数 h(x) = f(x) g(x) 或 h(x) = f(x) / g(x) 的奇偶性如下:
乘法
f(x) g(x) 是奇函数。
除法
f(x) / g(x) 是奇函数,前提是 g(x) 不等于 0。
例题
已知 f(x) 为奇函数,g(x) 为偶函数。求证 h(x) = f(x) g(x) 是奇函数。
证明
定义域对称性: h(x) 的定义域关于原点 O 对称。
奇偶性: h(–x) = f(–x) g(–x) = –f(x) g(x) = –h(x)。
h(x) 是奇函数。
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