双曲线标准方程推导全过程详解，一步步带你弄懂！

好的，我们来一步步推导双曲线的标准方程。

目标： 推导中心在原点 (0, 0)，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程。

1. 定义：

首先，回顾双曲线的定义：平面上到两个定点（称为焦点）的距离之差的绝对值等于一个常数（这个常数小于两焦点间的距离）的点的轨迹。这两个定点称为焦点。

2. 建立坐标系：

为了简化推导，我们选择笛卡尔坐标系，并将双曲线的中心放置在坐标原点 (0, 0)。同时，我们假设焦点位于 x 轴上，分别位于 (-c, 0) 和 (c, 0)。

3. 点的坐标：

设 P(x, y) 是双曲线上任意一点。

4. 应用定义：

根据双曲线的定义，点 P 到焦点 F1(-c, 0) 和 F2(c, 0) 的距离之差的绝对值是一个常数 2a (这里 2a 1，所以 c = ae。

将 c 替换为 ae：

(2a^2 + 3b^2)x^2 - 2a^2(ae)x - a^2b^2 = 2a^3√[(x - ae)^2 + y^2]

(简化)：

(2a^2 + 3b^2)x^2 - 2a^3ex - a^2b^2 = 2a^3√[(x - ae)^2 + y^2]

13. 再次平方：

两边平方：

[(2a^2 + 3b^2)x^2 - 2a^3ex - a^2b^2]^2 = (2a^3√[(x - ae)^2 + y^2])^2

[(2a^2 + 3b^2)x^2 - 2a^3ex - a^2b^2]^2 = 4a^6[(x - ae)^2 + y^2]

这是一个非常复杂的方程。更简洁的推导方法通常利用“共轭差”和“完全平方”技巧，避免冗长的平方步骤。 这里我们采用一种更标准的简化方式，回到步骤 8 后的方程：

√[(x + c)^2 + y^2] = 2a + √[(x - c)^2 + y^2]

两边平方：

(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a√[(x - c)^2 + y^2] + (x - c)^2 + y^2

移项并合并：

4cx = 4a^2 + 4a√[(x - c)^2 + y^2]

除以 4：

cx = a^2 + a√[(x - c)^2 + y^2]

移项：

cx - a^2 = a√[(x - c)^2 + y^2]

两边平方：

(cx - a^2)^2 = a^2[(x - c)^2 + y^2]

展开：

c^2x^2 - 2a^2cx + a^4 = a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)

展开右边：

c^2x^2 - 2a^2cx + a^4 = a^2x^2 - 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2

移项：

c^2x^2 - a^2x^2 - a^2c^2 + a^4 = a^2y^2

合并同类项：

(c^2 - a^2)x^2 - a^2c^2 + a^4 = a^2y^2

利用 c^2 - a^2 = b^2：

b^2x^2 - a^2c^2 + a^4 = a^2y^2

移项，得到标准形式：

b^2x^2 - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4

将 a^2c^2 替换为 a^2(a^2 + b^2)：

b^2x^2 - a^2y^2 = a^2(a^2 + b^2) - a^4

b^2x^2 - a^2y^2 = a^4 + a^2b^2 - a^4

b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2

两边同时除以 a^2b^2：

(b^2/a^2)x^2 - (a^2/a^2)y^2 = 1

(you can rewrite as)：

(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1

结论：

这就是中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程：

(x²/a²) - (y²/b²) = 1

其中：

(x, y) 是双曲线上任意一点的坐标。

a 是双曲线的实半轴长 (正值)。

b 是双曲线的虚半轴长 (正值)。

c 是焦点到中心的距离，且满足 c² = a² + b² (c > a)。

e 是离心率，e = c/a (e > 1)。

这个方程清晰地表达了双曲线上点的坐标 (x, y) 与其几何参数 a, b, c 之间的关系。