等腰三角形的判定

北师大版八年级数学下册，我们迎来了五步法课件的探究之旅，首章便是三角形的证明。

在北师大版八年级数学下册第一章中，我们首要学习等腰三角形的相关知识。其学习目标如下：

一、理解并掌握等腰三角形的特性和相关定理。

二、学会如何运用证明方法去验证这些特性和定理。

三、能够运用等腰三角形的知识解决基础的几何问题。

那么，等腰三角形的特性和定理究竟是什么呢？它的核心定理是等腰三角形的两个底角相等。进一步，我们还有其推论：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线，三者会合于一点，即三线合一。

如何证明这些特性的合理性呢？以等腰三角形的底角相等为例，我们可以这样表述：若一个三角形是等腰的，那么它的两个底角必然相等。为了证明这一点，我们可以画一个等腰三角形ABC，已知AB与AC的长度相等，接下来要证明角B与角C的度数相等。

逆向思维引导我们，若要证明角相等，可以利用全等三角形作为途径。这里我们可以采取边边边定理，也即三个相等的边对应相同的角来帮助我们完成证明。

根据题目给出的条件，我们知道AB等于AC。而为了使角B和角C处于不同的三角形中，我们需要添加一条辅助线。此时我们可以选择做底边BC的中线AD，找到中点D后，再连接AD至AB和AC的端点。这样，我们就在三角形ABD和三角形ACD中找到了三组相等的边。

在三角形ABD与三角形ACD中，由于AB等于AC、BD等于DC（都是中线），同时AD为公共边，所以根据边边边定理，这两个三角形全等。由此，我们得出角B等于角C的结论。

那么是否还有其他证明方法呢？如采用边角边定理来证明。我们同样需要让角B和角C处于不同的三角形中。此时我们可以选择作顶角的平分线AD来帮助我们完成证明。

添加顶角的平分线后，我们得到了两组对应角相等的信息（通过已知AB等于AC）和一组对应边相等的信息（AD为公共边）。我们可以利用边角边定理来证明三角形BAD与三角形CAD的全等性，从而得出角B等于角C的结论。

至于等腰三角形的三线合一特性，我们可以通过上述两种方法中的任何一种来证明。例如在第一种方法中通过底边的中线来证明后，会发现这一过程不仅验证了角相等的结论，还展示了顶角平分线的存在。因此这一中线不仅是角平分线也是垂线。

对于剩余的证明步骤如垂线的存在以及其它路径的探索等问题则作为课后习题供大家进一步研究。

如此一来，我们便对等腰三角形的特性和证明方法有了深入的了解。相信大家能够运用这些知识去解决更多的几何问题。