映射在数学上的意思

模型泛化能力是机器学习和深度学习中的重要考量。为了全面理解并讨论机器学习和深度学习中的泛化及正则化问题，我将推出一系列文章。这些文章将从多角度解读模型的泛化挑战，并从泛化角度阐释机器学习和深度学习中的多种方法，如范数惩罚、权重衰减、丢弃层和参数共享等。

本系列主要基于Ian Goodfellow的《深度学习》一书第七章，并结合其他文献及我个人经验。

一、引言

定义：正则化是所有用于降低算法泛化误差的方法的总称。泛化误差是模型在新、未见样本上的预测误差。我们的目标是在训练误差和泛化误差之间寻找平衡。

二、正则化方法

1. 范数惩罚：常用的有L1和L2正则化。它们在理论机制上有所不同，L1正则化按特征方向重要性进行“削砍”，L2则“缩水”参数分量。在深度学习中的实现方式包括权重衰减和硬约束（重投影）两种，各有优缺点。

2. L2正则化的特殊作用：解决欠定问题，通过调整协方差矩阵使其可逆。

3. Dropout层与batchnorm层：Dropout本质上是一种集成方法。当Dropout与batchnorm用于回归时存在弊端，同时使用时在理论上可能有冲突。

4. 深度学习的早期停止：减少过度拟合后的无意义训练。

三、详细讨论

1. L1正则化：从求解过程和最终解的结果来看，L1正则化是通过在每一次迭代时依据符号调整数值，使其趋近于0。在特征值分解后，L1正则化使低于一定阈值的参数全部清零，高于阈值的参数减少一部分，来精简参数并迫使参数稀疏。

2. L2正则化：它不仅以降低模型复杂度的方式降低overfitting，而且在特殊情况下，如线性回归中的欠定问题，通过增加特征值使协方差矩阵可逆，从而找到最大似然估计的解。

3. 实现方式：范数惩罚通常有两种实现方式，即权重衰减和硬约束（重投影）。两者各有优缺点，如权重衰减可能导致无差别的参数衰减造成死亡单元，而硬约束则可以在明确知道理想参数范围时使用。

四、其他考虑

1. Dropout和batchnorm虽然能有效促进泛化，但也有其弊端。如Dropout可能导致模型在训练时的不稳定性，而batchnorm在小型数据集上可能效果不佳。

2. Dropout和batchnorm在理论上可能存在冲突。Dropout是通过随机选择元进行训练，而batchnorm是对每个batch的数据进行标准化。在训练过程中，两者可能产生冲突，影响模型的稳定性。

▲ Dropout层的工作原理是通过对模型的某些部分进行随机遮盖，从而形成不同的子模型。训练过程实际上是在训练这些子模型的集合，类似于一个由多个子模型构成的ensemble model。这种策略解决了单一模型的不稳定性问题，降低了模型的variance。关于ensemble method的详细解释，我们稍后会专门探讨。

这种方式的实现并不完全等同于传统的ensemble method。为了使有dropout和关掉dropout（测试阶段）时的模型输出具有相同的期望值，我们在训练时会对参数或元的值进行适当调整。例如，当dropout率为0.5时，我们可以将元的输出放大2倍来弥补缺少一部分元所带来的输出损失。另一种方法是在测试时调整参数值。

这种调整虽然有效，但并不完美。当模型包含非线性的hidden unit时，输出期望只是对ensemble输出的一个近似。如果模型是完全线性的，那么输出的期望值会被证明与ensemble完全相等。Dropout的成功并不仅仅是因为训练过程中的随机性，而是由于其在结合多个子模型时产生的bagging效果，可以称之为“集体的智慧”。

研究表明，当dropout应用于线性回归时，它等价于一种weight decay，但每个输入特征的weight decay常数并不相同，这取决于特征的variance。对于其他线性模型也有类似的结论。对于深度模型，dropout并不等价于weight decay。

值得注意的是：

1. 模型需要足够大，以抵消dropout带来的模型容量降低；

2. 在大数据集上，所有的regularization方法可能都起不到太大作用，此时引入dropout可能会带来更多的弊端；

3. 当有标签的训练数据很少时，贝叶斯网络和半监督学习的表现可能会超过dropout。

实践中，我们经常看到dropout和batchnorm一起使用，特别是在深度网络中。尽管有研究表明这两种方法一起使用时可能会产生所谓的“variance shift”，导致测试阶段的不稳定，但在很多实际应用的模型中，它们的结合依然非常流行并且表现出色。关于这种冲突的具体结论还需要进一步的研究和验证。