抽象函数单调性经典例题

一、抽象函数的单调性证明

已知f(X)是定义在R上的恒不为零的函数，且满足对任意的X，y都有f(X)f(y)=f(x+y)。

①求f(0)的值，并证明对任意的X∈R，都有f(x)>0。

设X=Y=0，则有f(0)f(0)=f(0+0)，即f(0)²=f(0)，因为f(X)不为零，所以f(0)=1。

再设X为任意实数，由于f(X)f(Y)=f(X+Y)，令Y=-X，则有f(X)f(-X)=f(0)=1。因为f(X)不为零，所以f(-X)=1/f(X)，因此对于任意X∈R，都有f(x)>0。

②设当xf(0)，证明：f(x)在(-∞，+∞)上是减函数。

利用单调性定义，设x10。由于当x>0时，有f(x)>1，特别地当x=x2-x1时，有f(x2-x1)>1。又因为f(x1)f(-x2)=1/f(x2)，所以f(x1)>1/f(x2)。由于f(x2-x2)=1，所以f(x2)=1/f(-x2)，故有f(x1)>f(-x2)。由于-x2f(0)，所以有f(x1)>f(0)。因此对于任意的x1f(x2)，即函数在(-∞，+∞)上是减函数。

[同步]

已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x>0时，有f(X)>1。

①求证：f(x)是R上的增函数；